skkn cÁc sai lẦm khi giẢi toÁn; mỘt sỐ sai lẦm thƯỜng gẶp khi giẢi toÁn; ĐỀ vÀ ĐÁp Án ĐỀ 2; ĐỀ vÀ ĐÁp an de 1; ĐỀ thi thỬ thpt 2017; ĐiỂm mỚi trong dỰ thẢo tuyỂn sinh 2017; ĐỀ thi thỬ thpt 2016; ĐỀ thi thỬ thpt 2016; ĐỀ thi thỬ thpt lẦn 1 nĂm 2016; Đã bị xóa; ĐỀ thi Với mong ước giúp các em học sinh tránh được những sai lầm trong Toán, cùng với sự động viên của các bạn đồng nghiệp chúng tôi xin trân trọng giới thiệu cùng bạn đọc quyển sách: NHỮNG SAI LẦM TRONG GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG. Quyển sách gồm có hai phần: Phần 1 Đoạn văn 200 chữ về giá trị của lời xin lỗi đúng cách. by Tiny Edu. 25 Tháng Tư, 2022. in Blog. 0. ADVERTISEMENT. Có câu nói nói rằng "Một lời xin lỗi vụng về cò tốt hơn sự im lặng". Trong cuộc sống, không thể tránh khỏi những sai lầm. Quan trọng là biết sửa sai, nhận ra Như vậy sai lầm này do chưa phân biệt rõ tổ hợp, chỉnh hợp hoặc do sai kiến thức hình học Lời giải đúng: Cứ 4 điểm không đồng phẳng đã cho thì tạo được một tứ diện. Ngược lại, mỗi một tứ diện có 4 đỉnh thuộc tập đã cho tương ứng với một tập con gồm 4 phần tử của tập đã cho (Vì 4 đỉnh của một tứ diện không có tính sắp thứ tự). Thi lớp 10 Hà Nội: Học sinh không được đổi nguyện vọng dự tuyển. Theo thầy Nguyễn Mạnh Cường, giáo viên bộ môn Toán tại Hệ thống Giáo dục HOCMAI, cấu trúc đề thi vào 10 như sau: Câu I thường liên quan đến biểu thức đại số, đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức Bài viết này trình bày một số sai lầm mà học sinh có thể gặp khi giải toán trắc nghiệm. Trong mỗi câu hỏi trắc nghiệm thường gặp hiện nay, có 4 phương án gồm 1 phương án đúng và 3 phương án nhiễu. Phương án nhiễu thường được xây dựng dựa trên các sai lầm của học sinh. ĐỒNG TÁC GIẢ PHÁT MINH. Thứ bảy - 06/01/2018 16:15 Sai lầm thường gặp; Kỹ năng học tập - chọn Thí nghiệm hóa học; Thí nghiệm hóa học vui; Hướng dẫn đăng ký dự thi tốt nghiệp thpt năm 2022 và các mốc thời gian cần lưu ý Chương 4 - Các sai lầm và thiếu sót thường gặp khi khảo sát hàm số Chương 5 - Những quan điểm khác nhau trong các bài toán tiếp xúc, tiếp tuyến và tiệm cận Chương 6 - Sai lầm trong các bài toán nguyên hàm, tích phân và tổ hợp. Chương 7 - Sai lầm trong các bài toán hình học. Chương 8 - Các bài viết chọn lọc của nhà giáo Nguyễn Đức Tấn Vay Tiền Nhanh Chỉ Cần Cmnd Asideway. Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "SKKN Phân tích các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm - Tích phân và cách khắc phục", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênMỤC LỤC Trang MỤC LỤC 1. Phần mở đầu 1 2 Lý do chọn đề tài 2 Phạm vi nghiên cứu 3 Đối tượng nghiên cứu 3 Mục tiêu nghiên cứu 3 2. Phần nội dung 4 Cơ sở khoa học đề xuất SKKN 4 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 5 Giải pháp thực hiện 5 Nội dung cụ thể 7 Những kiến thức liên quan 7 1. Nguyên hàm 7 2. Phương pháp tính nguyên hàm 8 3. Tích phân 9 a. Định nghĩa tích phân 9 b. Tính chất của tích phân 9 c. Phương pháp tính tích phân 9 4. Những sai lầm của học sinh khi tính nguyên hàm và cách khắc phục 10 a. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm 10 b. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản 10 5. Những sai lầm của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục 11 Những lỗi đơn giản mà học sinh thường mắc phải 11 a. Sai lầm do nhớ nhằm công thức nguyên hàm 11 b. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân 12 c. Sai lầm do nhớ nhằm tính chất tích phân 13 d. Sai lầm khi đổi biến số 14 Những lỗi do biến đổi mà học sinh thường mắc phải 16 a. Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số 16 b. Sai lầm khi thực hiện đổi biến số 17 V. Kết quả 18 C. Kết luận và kiến nghị 20 1. Kết luận 20 2. Đề xuất và kiến nghị 20 Tài liệu tham khảo 22 Đề tài “PHÂN TÍCH CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ CÁCH KHẮC PHỤC” 1. PHẦN MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Môn Toán được chia thành nhiều phân môn nhỏ, trong đó có “NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN” . Trong những năm giảng dạy khối 12 Trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống, bản thân tôi luôn nhận thấy và rút ra được kinh nghiệm từ các sai lầm mà học sinh thường hay mắc phải do mới học và làm quen với tích phân thường chưa hiểu rõ tư tưởng cũng như phương pháp tiếp cận lý thuyết, đặc biệt là khâu vận dụng lý thuyết vào việc giải các bài toán cụ thể. Học sinh của trường đa phần là học sinh trung bình, yếu. Có một số ít là học sinh khá, giỏi. Nên việc làm bài hay mắc sai lầm không đáng có trong giải Toán càng nhiều, nguyên nhân học sinh chưa nắm vững kiến thức, thậm chí có những em thuộc công thức nhưng vận dụng vẫn sai, đó là thực trang chung học sinh của trường, dẫn đến kết quả của các bài kiểm tra không được cao. Do đó đề tài tôi quan tâm ở đây là Nhằm giúp học sinh khối 12 của Trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống nói riêng, đối tượng đa phần là trung bình, yếu và có số ít khá giỏi, giúp các em tránh những sai sót không đáng có. Trong giảng dạy tôi thường hay đưa ra các sai lầm mà học sinh các khóa trước để lưu ý cho các em biết tránh sai lầm kiểu tương tự. Đặc biệt trước và sau kiểm tra tôi luôn nhắc để học sinh lưu ý. Khi trả bài kiểm tra thường chỉ ra những sai lầm tồn đọng và cách khắc phục. Phép tính tích phân là một phần quan trọng của Giải tích nói riêng và của Toán học nói chung, không những là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của giải tích mà còn hỗ trợ đắc lực trong nghiên cứu lý thuyết về phương trình, tính diện tích, thể tích. của các hình rất phức tạp mà các phương pháp khác không giải được. Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? Vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc những sai lầm dẫn đến lời giải sai. Với hy vọng giúp học sinh khắc phục được những nhược điểm kể trên, nắm vững kiến thức về nguyên hàm – tích phân, từ đó giúp học sinh tính tích phân dễ dàng hơn, đạt được kết quả cao khi giải toán nguyên hàm – tích phân nói riêng, đạt kết quả cao trong quá trình học tập môn Toán nói chung. Mục tiêu nghiên cứu Nhằm giúp học sinh khối 12 trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống tránh được những sai lầm thường gặp trong giải toán, để đạt được kết quả cao hơn khi học toán nguyên hàm tích phân và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung. Ý nghĩa quan trọng mà đề tài đặt ra là cũng cố về mặt kiển thức, kỷ năng giải bài toán Tích phân một cách logic. Từ đó phát huy hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú cho các em. Đối tượng nghiên cứu Tôi cùng đồng sự của tôi nghiên cứu học sinh khối 12 trong các năm 2013-2014; năm 2014-2015; năm 2015-2016 và năm 2016-2017– Trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống. Phạm vi nghiên cứu Phân tích các dạng toán về nguyên hàm, tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm trong quá trình giải toán trong Giải tích 12 2. PHẦN NỘI DUNG Cơ sở khoa học đề xuất SKKN Khi giảng dạy môn Toán ở Trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống, tôi nhận thấy học sinh thường bế tắc hoặc mắc rất nhiều các sai lầm khi giải bài toán tính nguyên hàm – tích phân. Các lỗi giống nhau này không chỉ xảy ra ở những lớp tôi giảng dạy mà còn ở các lớp khác của đồng nghiệp. Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó, kịp thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học, đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm về mặt tư duy. Những kiến thức căn bản về nguyên hàm và tích phân là kiến thức hoàn toàn mới mẻ đối với học sinh nhưng sự hình thành ít nhiều liên quan đến kiến thức về đạo hàm, các em có thể dựa vào các công thức đạo hàm để hình thành công thức nguyên hàm, tuy nhiên đa phần các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này. Những em có lực học trung bình, yếu kém đều bị mắc sai lầm hoặc không giải được phần kiến thức này do đó dù các em có nắm được kiến thức căn bản của nguyên hàm tích phân thì cũng sẽ bế tắc khi thực hiện lời giải. Còn với đa phần các em có học lực khá, giỏi tâm lí chung khi gặp một bài toán là nóng vội lao vào tìm phương pháp giải, tìm ra phương pháp rồi thì vội vàng trình bày lời giải, tìm ra đáp số, thấy kết quả gọn, đẹp là yên tâm mà quên mất các thao tác quen thuộc phân tích đề, kiểm tra các điều kiện, kiểm tra các phép tínhVì vậy những sai sót xảy ra là điều tất yếu. Kinh nghiệm cũng cho thấy việc phát hiện ra lỗi sai của người khác thì dễ còn việc phát hiện ra lỗi sai của chính mình là rất khó. Trong quá trình dạy về phần kiến thức này, tôi cho các em chủ động tự làm theo lối tư duy logic của riêng mình, để các em theo dõi nhận xét lời giải của nhau từ đó phát hiện những lỗi sai và từ đó phân tích để các em hiểu được bản chất của vấn đề khắc phục sai sót và tổng kết thành kinh nghiệm. Tuy nhiên, nếu cứ lúc nào cũng chỉ ra những sai lầm của học sinh dễ khiến các em thấy nhàm chán, mất đi hứng thú học tập. Vì vậy, tôi vận dụng nó linh hoạt trong các tiết dạy và có những gợi ý cần thiết hỗ trợ cho các em tìm kiếm lời giải. Một khó khăn nữa mà tôi cũng gặp trong quá trình giảng dạy trên đó là việc dạy học phân hóa theo từng đối tượng học sinh. Ở các lớp mà tôi nhận nhiệm vụ giảng dạy, học sinh trung bình, yếu, kém là đa số, còn lại là một bộ phận ít học sinh khá, giỏi. Nên các giáo án, các ví dụ và bài tập của tôi cũng phải phân hướng vào hai loại đối tượng học sinh, trước tiên là ưu tiên các em diện trung bình và yếu sau đó nâng cao lên những bài toán mở rộng với tính chất hướng dẫn, giới thiệu. Thêm nữa, với vai trò là môn học nòng cốt, môn Toán được nhà trường xếp thêm mỗi tuần 01 tiết học tự chọn, với nội dung học tự chọn bám sát chương trình vì vậy tôi có cơ hội để thực hiện đề tài này. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu Phân tích các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục a. Những lỗi đơn giản mà học sinh vẫn thường mắc phải như - Không nắm vững định nghĩa nguyên hàm, tích phân; - Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức; - Đổi biến số nhưng không đổi cận; - Khi đổi biến không tính vi phân; - Giải sai hoặc tính toán nhầm do kỹ năng tính toán chưa thuần thục. b. Những lỗi do biến đổi mà học sinh thường mắc phải như - Hàm số không liên tục nhưng vẫn sử dụng công thức Newtơn- Leibnitz; - Đổi biến số t = ux nhưng ux không phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a; b]; - Không nắm vững phương pháp đổi biến số; - Chọn cách đổi biến số nhưng gặp khó khăn khi đổi cận không tìm được giá trị chính xác; - Không nắm vững phương pháp nguyên hàm tích phân từng phần. 3. Giải pháp thực hiện Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiện một số giải pháp như sau Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt - Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó; - Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí; - So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng; - Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp và cách khắc phục. - Thao tác tư duy phân tích, so sánh, lô gic...; - Kỹ năng lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề. - Phương pháp phương pháp giải toán nguyên hàm, tích phân cơ bản. - Cách khắc phục Học sinh phải thuộc, hiểu công thức, định nghĩa, tính chất nguyên hàm và tích phân. Đổi mới phương pháp dạy học lấy học sinh làm trung tâm - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng người học - Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh; - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn sử dụng phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu để học sinh thấy được hình động liên quan trực tiếp tới bài giảng. ví dụ như ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình thang cong, diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. Đề kiểm tra theo chuẩn kiến thức kỷ năng môn học đảm bảo được các mức dộ như - Ra đề kiểm tra với 6 mức độ nhận thức nhận biết – thông hiểu – vận dụng – phân tích – tổng hợp – đánh giá; - Giáo viên đánh giá học sinh; - Học sinh đánh giá học sinh. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai lầm thường mắc phải khi giải các bài toán về nguyên hàm, tích phân. Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập. Phân dạng bài tập và phương pháp giải - Hệ thống kiến thức cơ bản; - Phân dạng bài tập và phương pháp giải; - Đưa ra các bài tập tương tự. - Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo. 4. Nội dung cụ thể Những kiến thức liên quan Nguyên hàm a. Định nghĩa Cho hàm số fx xác định trên K K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng. Hàm số Fx được gọi là nguyên hàm của hàm số fx trên K nếu với mọi x thuộc K. b. Định lí * Nếu Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số Gx = Fx +C cũng là một nguyên hàm của fx trên K. * Ngược lại, nếu Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên K thì mọi nguyên hàm của fx trên K đều có dạng Fx+C với C là một hằng số. Kí hiệu họ nguyên hàm của fx là . Khi đó C hằng số c. Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1 Tính chất 2 k là hằng số khác 0 Tính chất 3 d. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí Mọi hàm số fx liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K Bảng công thức tính nguyên hàm của một số hàm thường gặp Phương pháp tính nguyên hàm a. Phương pháp đổi biến số Định lí Nếu và là hàm số có đạo hàm liên tục thì b. Phương pháp nguyên hàm từng phần Định lí Nếu hai hàm số và có đạo hàm liên tục trên K thì Hay viết gọn là Tích phân a. Định nghĩa tích phân Cho fx là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử Fx là một nguyên hàm của fx trên đoạn [a ; b]. Hiệu số Fb − Fa được gọi là tích phân từ a đến b hay tích phân xác định trên đoạn [a ; b] của hàm số fx, kí hiệu là Khi đó Công thức Newton – Leibnitz b. Tính chất của tích phân Tính chất 1 k là hằng số Tính chất 2 Tính chất 3 với c. Phương pháp tính tích phân * Phương pháp đổi biến số Cho hàm số liên tục trên . Giả sử hàm số có đạm hàm liên tục trên sao cho , và với mọi Khi đó * Phương pháp tích phân từng phần Từ phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có định lí sau đây Định lý Nếu và là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên thì Hay viết gọn là Những sai lầm của học sinh khi tính nguyên hàm và cách khắc phục a. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản Ví dụ 1. Tính nguyên hàm * Lời giải có sai lầm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Học sinh vận dụng công thức với ≠ – 1 thay vì công thức với ≠ – 1 * Lời giải đúng Hoặc cách giải khác Đặt => Thay u=3x+1 vào ta được I= *Khắc phục Yêu cầu học sinh thuộc và hiểu để vận dụng đúng công thức b. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm Ví dụ 2. Tính nguyên hàm * Lời giải có sai lầm * Phân tích Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm * Lời giải đúng với C = C1 – C2. Ví dụ 3. Tính nguyên hàm * Lời giải có sai lầm . Đặt Vô lý * Phân tích Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm * Lời giải đúng Đặt u= cosx => du= -sinxdx =>sinxdx=-du Thay u= cosx vào ta được Ví dụ 4. Tính nguyên hàm * Lời giải có sai lầm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Các em nhầm kiến thức nguyên hàm và đạo hàm, rất em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này . * Lời giải đúng * Cách khắc phục Yêu cầu học sinh học thuộc công thức nguyên hàm của sinx và cosx. Để phân biệt sự khác nhau giữa đạo hàm và nguyên hàm của sinx và cosx. * Các bài tập tương tự a b c d 5. Những sai lầm của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục Những lỗi đơn giản mà học sinh thường mắc phải a. Sai lầm do nhớ nhầm công thức nguyên hàm Ví dụ 5. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Sự hình thành nguyên hàm ít nhiều cũng liên quan đến kiến thức đạo hàm, các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này * Cách khắc phục Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra công thức lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho? * Lời giải đúng Ví dụ 6. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Học sinh vận dụng sai công thức nguyên hàm của hàm hợp, đã dùng thay vì * Lời giải đúng Có thể hướng dẫn các em giải cách khác Đặt * Cách khắc phục Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản và nguyên hàm hàm hợp tương ứng, tự lặp ra bảng nguyên hàm của hàm hợp tưng ứng với . Giúp các em khắc sâu thói quen kiểm tra công thức lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho? * Các bài tập tương tự Tính các tích phân sau a b c d e b. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân Ví dụ 7. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm không xác định tại * Lời giải đúng Hàm số không xác định tại suy ra hàm không liên tục trên , nên không sử dụng được công thức Newton – Leinbitz như cách giải trên * Cách khắc phục Yêu cầu các em nhớ định nghĩa tích phân. Giúp các em tạo thói quen Khi tính cần chú ý kiểm tra xem hàm số y = fx có liên tục trên đoạn [a, b] không? Nếu có thì áp dụng các phương pháp được học để tính tích phân đã cho, còn nếu không thì kết luận ngay tích phân đó không tồn tại. * Các bài tập tương tự Tính các tích phân sau a b c c. Sai lầm do nhớ nhầm tính chất tích phân Ví dụ 8. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Học sinh tự “sáng tạo” ra quy tắc nguyên hàm của một tích thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần * Lời giải đúng * Cách khắc phục Yêu cầu các em học thuộc các tính chất của nguyên hàm và tích phân. Giúp các em tổng quát hoá các dạng toán sử dụng phương pháp tích phân từng phần Cách làm Biểu diễn về dạng - Chọn u sao cho du dễ tính - Chọn dv sao cho dễ tính - Lưu ý cho học sinh dựa vào công thức nguyên hàm từng phần sau u Px Px Px lnx dv Pxdx * Các bài tập tương tự Tính các tích phân sau a b c d. Sai lầm khi đổi biến số Ví dụ 9. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm Đặt * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Học sinh đổi biến nhưng không đổi cận * Lời giải đúng Đặt . Ví dụ 10. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm Đặt * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Nhớ công thức không rõ ràng dẫn đến hiểu nhầm, cũng khá nhiều em quyên không ghi dx vào * Lời giải đúng Đặt Ví dụ 11. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm Đặt x = sint dx = costdt * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Học sinh đổi biến nhưng không đổi cận * Lời giải đúng Đặt x = sint dx = Đổi cận * Cách khắc phục Yêu cầu các em thực hiện từng tự cách bước tính tích phân theo phương pháp đổi biến số đổi biến và đổi cận. Khi gặp tích phân dạng , nếu tích phân tồn tại thì thông thường ta tính tích phân bằng cách đặt x = hoặc x = đổi cận, chuyển về tính tích phân theo t Ví dụ 12. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm Đặt t = 2x + 1 Đổi cận * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Khi thực hiện đổi biến số học sinh đã quên không tính vi phân dt * Lời giải đúng Đặt ; Đổi cận * Cách khắc phục Yêu cầu các em học thuộc các bước thực hiện phương pháp đổi biến số. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra lại bài làm, kiểm tra kết quả bằng phép tính gần đúng trên máy tính bỏ túi * Các bài tập tương tự Tính các tích phân sau a b c d e f Trên đây là một số sai lầm điển hình của học sinh mắc phải khi tính tích phân, những sai lầm đơn giản này phần lớn rơi vào trường hợp những em có học lực trung bình trở xuống hoặc những em học khá nhưng mắc phải tính cẩu thả. Đôi khi cũng gặp phải ở tình huống các em bị áp lực tâm lí khi làm bài dẫn tới trạng thái không kiểm soát nổi hành vi của bản thân. Trong nhóm những sai lầm dạng này còn một số kiểu lỗi khác về tính toán và trình bày như tính toán sai, viết thiếu kí hiệu vi phân trong biểu thức tích phân, viết cả 2 biến trong cùng một biểu thức tích phânĐể khắc phục những sai lầm đó, ngoài những biện pháp đã nêu, người giáo viên cần giúp các em học sinh rèn luyện các đức tính cẩn thận, tỉ mỉ, kiên trì và đặc biệt là khắc phục những điểm yếu tâm lí khi làm bài. Những lỗi do biến đổi mà học sinh thường mắc phải a. Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số Ví dụ 13. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Học sinh sử dụng phép biến đổi sai với thay vì dùng với * Lời giải đúng * Cách khắc phục Yêu cầu các em lưu ý khi gặp tích phân hàm vô tỉ chứa hàm số dạng thì dùng phép biến đổi n ≥ 1, n nguyên. Khi đó ta phải xét dấu hàm số fx trên đoạn [a, b] rồi dùng tính chất tách cận, phân tích thành tổng các tích phân để khử bỏ dấu giá trị tuyệt đối * Các bài tập tương tự Tính các tích phân sau a b b. Sai lầm khi thực hiện đổi biến số Ví dụ 14. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm Đặt u = cosx du = -sinxdx. u0 = 1, u = 0. * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Khi sử dụng công thức thay vì công thức * Lời giải đúng Đặt u = cosx du = -sinxdx. u0 = 1, u = 0. = Hoặc cách khác Đặt u = cos2x => du=-2sinxcosxdx=-sin2xdx u0 = 1, u = 0. * Các bài tập tương tự Tính các tích phân sau a b * Cách khắc phục Yêu cầu học sinh hiểu và vận dụng đúng công thức, tránh chủ quan, nóng vội. Trên đây là một số sai lầm mà học sinh mắc phải khi tính tích phân, đó là những sai lầm khó phát hiện đối với các em học sinh. Những sai lầm này phần lớn xuất phát từ sự thiếu chắc chắn về kiến thức cộng với thói quen làm bài thường gặp những “tình huống thuận lợi” dẫn tới tư tưởng chủ quan, nóng vội, cẩu thả. Đôi SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN NHÌN TỪ PHƯƠNG DIỆN HOẠT ĐỘNG ĐẦU I. BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh, có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Dạy học giải toán có vai trò đặc biệt ở trường phổ thông. Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học Toán ở trường phổ thông có lúc, có chỗ còn chưa tốt, biểu hiện qua việc năng lực giải toán của học sinh còn hạn chế do học sinh mắc nhiều sai lầm. Một trong những nguyên nhân quan trọng là do giáo viên chưa chú ý một cách đúng mực việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học. Vì điều này nên học sinh nhiều khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm. Đề tài ra đời trong bối cảnh việc tiếp thu tri thức một cách có ý thức được kích thích bởi việc tự học sinh phân tích một cách có suy nghĩ nội dung của từng sai lầm mà học sinh phạm phải, giải thích nguồn gốc của các sai lầm này và tư duy, lí luận về bản chất của các sai lầm chưa được quan tâm đúng mức. Hiện nay, để bắt nhịp đổi mới theo hình thức thi trắc nghiệm của Bộ Giáo dục và Đào tạo, việc phát hiện các sai lầm trong giải toán của học chưa xuất hiện rất cần thiết, tạo các tình huống bẫy cho các phương án nhiễu trong xây dựng các đáp án câu trắc nghiệm khách quan. II. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Tôi chọn đề tài “Một số sai lầm của học sinh trong hoạt động dạy học môn toán nhìn từ phương diện hoạt động” vì những lý do sau đây + Đây là nội dung đòi hỏi tư duy logic cao, kết hợp với hoạt động nhận thức và rất quan trọng trong chương trình toán THPT. +Các dạng toán trong chương trình THPT rất đa dạng, nhiều cấp độ nên không tránh khỏi học sinh gặp sai lầm khi tiếp cận giải toán. + Đây là tài liệu chuyên sâu về phát triển nhận thức của học sinh trong dạy học môn toán dựa trên việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong quá trình nhận thức, học tập. + Nội dung của đề tài nâng cao nhận thức lí luận và rèn luyện kĩ năng thực hành, tích lũy kinh nghiệm dạy học và nghiên cứu khoa học giáo dục để nâng cao hiệu quả dạy học. III. PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU vi nghiên cứu Đề tài này nghiên cứu những sai lầm thường gặp khi giải toán của học sinh thuộc chương trình Trung học phổ thông. tượng nghiên cứu Hệ thống các bài toán trong chương trình Toán THPT mà học sinh hay gặp sai lầm khi giải. IV. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Giúp giáo viên có kỹ năng phát hiện sai lầm của học sinh trong nhận thức, kỹ năng phân tích sai lầm của học sinh thể hiện qua các sản phẩm học tập. Bước đầu giáo viên có kỹ năng đề xuất và lựa chọn các biện pháp phòng ngừa, sửa chữa sai lầm của học sinh trong dạy học môn toán. - Nhằm giúp học sinh hiểu sâu sắc bản chất của vấn đề, dự đoán và tránh được các sai lầm trong học tập, trong cuộc sống, góp phần phát triển thao tác phân tích – tổng hợp, trừu tượng hóa – khái quát hóa. - Nội dung đề tài kết hợp giữa các yếu tố chẩn đoán nhận thức của học sinh với các biện pháp điều chỉnh hành vi của học sinh trong quá trình nhận thức, quá trình học tập tri thức môn toán. Từ đó, bồi dưỡng học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán, nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo cho học sinh trong học toán. V. ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thời gian qua, có nhiều tác giả đã nghiên cứu các mảng về đề tài này, nhưng điểm mới khác biệt ở đây là khi xem xét các sai lầm của học sinh tôi không sắp xếp theo từng dạng toán, nói cách khác là, không tiến hành theo con đường nêu những sai lầm theo từng chủ đề kiến thức, mà những sai lầm của học sinh khi giải Toán Đại số và Giải tích sẽ được đề cập và làm sáng tỏ từ phương diện hoạt động toán học, có sự kết hợp giữa các yếu tố chẩn đoán nhận thức của học sinh với các biện pháp điều chỉnh hành vi của học sinh trong quá trình nhận thức, quá trình học tập tri thức môn toán, thông qua các bài toán đa dạng,phong phú với nhiều tình huống giúp học sinh khắc phục sai lầm. B. NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN Đề tài nêu một số sai lầm của học sinh trong hoạt động dạy học môn toán nhìn từ phương diện hoạt động. Các đối tượng học sinh có thể tiếp thu được phương pháp và kỹ năng giải toán qua các ví dụ đã nêu trong đề tài để giải các bài toán một cách có hiệu quả. II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Đối với học sinh Khi chưa học tập phương pháp và rèn luyện kĩ năng,chỉ có số ít các em học sinh suy nghĩ ,tập trung làm bài tập dạng này. Đối với giáo viên Tài liệu viết về các dạng bài tập này tuy đã có nhưng chưa có tính chất hệ thống, chưa chú ý đến phương pháp dạy học bộ môn. III. CÁC BIỆN PHÁP Đà TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Ứng với mỗi dạng của hoạt động, giáo viên xây dựng một số tình huống có chứa lời giải sai lầm, hướng dẫn học sinh phân tích, tìm ra sai lầm từ các ví dụ cụ thể, sau đó tổng hợp lại để khái quát cho một lớp các bài toán cùng loại. Công cụ chủ yếu Bài kiểm tra, phiếu điều tra Một số sai lầm của học sinh trong dạy học môn toán Có nhiều cách phân loại các sai lầm của học sinh trong nhận thức tri thức toán. Các sai lầm được đề cập sau đây được nhìn từ phương diện hoạt động toán học. - Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng - Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt - Sai lầm liên quan đến thao tác tư duy - Sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan - Sai lầm liên quan đến nắm nội hàm khái niệm hoặc điều kiện áp dụng định lí - Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán - Sai lầm liên quan đến chủ nghĩa hình thức - Những sai lầm liên quan đến suy luận Trong mục này để ám chỉ những lời giải có mắc phải sai lầm,tôi dùng kí hiệu ? và sử dụng kí hiệu ! để phân tích sai lầm của học sinh. 1. Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng Phân chia khái niệm là một thao tác logic ta thường gặp. Còn trong giải toán thì thường xuyên ta phải xét trường hợp này, xét trường hợp kia, hay ta có thể gọi chung là phân chia trường hợp. Trong dạy học chủ đề phương trình, bất phương trình, hoạt động phân chia trường riêng thường gặp ở các bài toán giải và biện luận phương trình, bất phương trình chứa tham số; giải các PT, BPT có chứa ẩn dưới mẫu thức, có chứa ẩn trong dấu căn thức, giải các phương trình, bất phương trình tích, .... Trong dạng toán giải và biện luận, khái niệm được phân chia là tham số, trong dạng toán sau, khái niệm được phân chia là tập xác định. Trong chủ đề Tổ hợp và Xác suất, hoạt động phân chia trường hợp riêng thường gặp ở bài toán đếm, ... Trong dạy học hình học, hoạt động phân chia trường hợp thường gặp ở các bài toán dựng hình, quỹ tích, xác định chân đường vuông góc, ... Nhìn nhận từ góc độ tổng quát thì việc phân chia trường hợp trong quá trình giải toán vô cùng phong phú và đa dạng, nó không theo một khuôn mẫu cố định nào. Do đó, khi thực hiện học sinh gặp rất nhiều khó khăn, mắc phải rất nhiều sai lầm, thậm chí không tìm ra được cơ sở để phân chia trường hợp. Chẳng hạn, học sinh thường gặp những khó khăn và sai lầm sau đây khi giải những bài toán có liên quan đến việc phân chia trường hợp. Không biết chia thành những trường hợp nào, nói cách khác không biết tìm ra tiêu chí làm cơ sở cho sự phân chia Đây có thể là khó khăn lớn nhất của học sinh trong quá trình giải toán liên quan đến sự phân chia. Về phương diện này giáo viên thì lắm lúc trình bày cho học sinh mang tính chất áp đặt, có vẻ hình như giáo viên chỉ quan tâm đến tính đúng đắn của từng khâu biến đổi chứ không quan tâm dến việc làm như thế nào đó để học sinh hiểu rõ tại sao lại chia các trường hợp cụ thể như vậy. Ví dụ 2 Giải và biện luận phương trình Rất nhiều học sinh đã giải như sau ! Học sinh kết luận . ! Ở lời giải này học sinh chưa hiểu bản chất của thuật ngữ “giải và biện luận” nên suy ra giá trị của tham số. Ví dụ 3 Giải và biện luận phương trình 1 Sai lầm thường gặp 1 ! ! Học sinh không xét trường hợp . Ở bài toán này giáo viên phải phân tích để học sinh hiểu tại sao lại phân chia 2 trường hợp như vậy. Ví dụ 4 Giải và biện luận theo tham số a bất phương trình 1 ? Gặp bài toán này, học sinh hầu như không biết nên phân chia tham số a thành những trường hợp nào. Nhiều học sinh cứ ngỡ rằng 3 số a, 2a, 3a thì dĩ nhiên 3a là lớn nhất, do đó điều kiện của bất phương trình chỉ là x > 3a và biến đổi Việc phân chia 3 trường hợp a = 0; a 0 căn cứ một phần quan trọng vào việc tìm điều kiện chung để thay thế cho 3 điều kiện ; ; . Khi lần đầu tiên tiếp xúc với thuật ngữ “Giải và biện luận” chắc hẳn rất nhiều học sinh cảm thấy khó hiểu cho dù giáo viên có cố gắng giải thích thế nào đi nữa. Thực tế là học sinh đã quen với việc giải phương trình, còn giải và biện luận có khác với việc giải phương trình hay không? Chính điều băn khoăn này nếu không được giải thích sẽ làm học sinh ít nhiều cảm thấy lúng túng khi gặp bài toán giải và biện luận. Học sinh không nắm vững bản chất của tham số, không hiểu nghĩa của cụm từ giải và biện luận, lẫn lộn giữa biện luận theo m và tìm m. Khi giải biện luận phương trình bất phương trình có tham số m, nhiều học sinh quy về tìm m để phương trình bất phương trình có nghiệm. Ví dụ 5 Tìm điều kiện tham số m để phương trình vô nghiệm mx2 – 2mx + 2 = 0 ? Học sinh đưa ra lời giải phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi ’ = - 2m 0 Û . ! Giáo viên có thể chỉ ra một mâu thuẫn cho học sinh trong lời giải trên, rõ ràng với m = 0 thì phương trình trở thành – 0x + 2 = 0 thì phương trình đã cho vô nghiệm. Học sinh có thể sẽ thấy khó hiểu khi gặp mâu thuẫn này, lời giải trên là sai lầm bởi khi m = 0 phương trình trên không còn là phương trình bậc hai nữa, nên việc vận dụng biệt số ’ trong trường hợp m = 0 là không còn đúng nữa. Ở đây, học sinh đã không ý thức được rằng biệt số ’ chỉ được nhắc tới tồn tại khi đó là phương trình bậc hai. Học sinh đã không ý thức được sự suy biến của tham số, áp dụng thuật giải một cách máy móc vào những trường hợp không thuộc hệ thống . Phân chia chưa đầy đủ phân chia thiếu trường hợp Ví dụ 1Tìm m sao cho phương trình chỉ có một nghiệm dương. Nhiều học sinh đã giải như sau Phương trình chỉ 1 có nghiệm dương Phương trình có 2 nghiệm thõa mãn TH1 TH2 Vậy ! Hoặc có học sinh giải Phương trình chỉ có 1 nghiệm dương phương trình có nghiệm kép dương ! !Theo 2 tình huống trên học sinh đều phân chia thiếu trường hợp dẫn đến sai kết quả. Ví dụ 2 Có bao nhiêu số tự nhiên, mà mỗi số có 6 chữ số phân biệt sao cho a Không có mặt chữ số 0 và chữ số 1. b Có mặt chữ số 0 và chữ số 1. Rất nhiều HS đã xem nếu đã có kết quả của câu a thì câu b dễ dàng suy ra được. Nguyên nhân của suy nghĩ chủ quan đó là do HS đã lý luận như sau Tập hợp các số tự nhiên, mà mỗi số có 6 chữ số phân biệt chia làm 2 loại Loại 1 là tập hợp các số tự nhiên, mà mỗi số có 6 chữ số phân biệt không có mặt 0 và 1; loại 2 là tập hợp hợp các số tự nhiên, mà mỗi số có 6 chữ số phân biệt có mặt chữ số 0 và 1. Từ đó dẫn đến kết quả của câu b là . Ở cách giải này, HS dựa vào tiêu chí có mặt hay không có mặt chữ số 0 và chữ số 1 trong mỗi số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt để phân chia trường hợp. Tuy nhiên, cách phân chia của học sinh chưa đầy đủ còn thiếu loại có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1 và loại có mặt chữ số 1 nhưng không có mặt chữ số 0. 1. 3. Phân chia không độc lập thừa trường hợp Ví dụ 1Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 2? Có học sinh thực hiện lời giải bài toán này như sau Số cách lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} là Số cách lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau không có chữ số 2 là Suy ra, có tất cả - cách lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết có mặt chữ số 2. ! Sai lầm ở đây là học sinh không loại trừ trường hợp số tự nhiên có 5 chữ số lập được từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có dạng . Đây là dạng số tự nhiên không thõa mãn yêu cầu bài toán. Như vậy học sinh đã không trừ đi các số không thoả mãn yêu cầu dẫn đến tính sai kết quả. Ví dụ 2Với bài toán "Bạn Hoa có 20 quyển sách gồm 8 quyển sách toán, 7 quyển sách lý, 5 quyển sách hóa. Hoa chọn ngẫu nhiên 6 quyển sách trên kệ để cho bạn mượn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong 6 quyển sách đó có đủ cả 3 loại?", nhiều HS đã giải như sau Chọn 6 quyển sách từ 20 quyển sách có cách Công việc chọn ngẫu nhiên 6 viên bi trong hộp sao cho không có đủ 3 loại có thể thực hiện bởi các phương án sau Phương án 1 Chỉ có 2 loại sách toán và sách lý có cách. Phương án 2 Chỉ có 2 loại sách toán và sách hóa có cách. Phương án 3 Chỉ có 2 loại sách lý và sách hóa có cách. Vậy số cách chọn để trong 6 quyển sách đó có đủ cả 3 loại là cách chọn. Lời giải trên đã sai lầm ở chỗ Các phương án đưa ra chưa độc lập, việc thực hiện công việc của phương án này bị trùng lặp ở phương án kia. Chẳng hạn, trong cách chọn chỉ có loại sách toán và sách lý, trường hợp cả 6 quyển sách đều là toán sẽ lặp lại trong cách chọn chỉ có 2 loại sách toán và sách hóa. Cũng với bài toán trên, có HS giải như sau Công việc chọn ngẫu nhiên 6 quyển sách trong hộp có thể thực hiện bởi các phương án sau Phương án 1 Chỉ có 2 loại sách toán và sách lý cách. Phương án 2 Chỉ có2 loại sách toán và sách hóa cách. Phương án 3 Chỉ có 2 loại sách lý và sách hóa cách. Phương án 4 Chỉ có sách toán cách. Phương án 5 Chỉ có sách lý cách. Phương án 6 Có cả sách toán,sách lý và sách hóa x cách chọn. Theo quy tắc cộng, ta có cách chọn. Lời giải này đã sai lầm ở chỗ Các phương án đưa ra chưa độc lập, việc thực hiện công việc của phương án này bị trùng lặp ở phương án kia. Chẳng hạn trong cách chọn chỉ có loại sách toán và sách lý, trường hợp cả 6 quyển sách đều là toán sẽ lặp lại trong phương án 4 chỉ có sách toán. Từ đó, chúng ta có thể đưa ra nhận xét tổng quát về nguyên nhân sai lầm này là do HS không biết phân chia một bài toán đếm thành các trường hợp riêng đơn giản hơn để đếm, không biết dựa vào tiêu chí nào để phân chia, không biết yêu cầu của việc phân chia một khái niệm, từ đó dẫn đến sai lầm là phân chia không đầy đủ các trường hợp, hoặc các trường hợp đưa ra không độc lập. Phân chia không liên tục Ví dụ 1 Một nhóm học sinh20 em gồm 8 học sinh nam và 12học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 5 học sinhtrong nhóm sao cho có ít nhất một học sinh nữ. Học sinh giải vắn tắt ? Số cách chọn 5 học sinh trong nhóm sao cho có ít nhất một học sinh nữ là ! Học sinh gặp sai lầm do phân chia các trường hợp không liên tục dẫn đến thiếu trường hợp “4 học sinh nữ và 1 học sinh nam ứng với số cách chọn là ” 2. Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt Sai lầm về cú pháp và ngữ nghĩa Trong dạy học Toán, nhằm mục đích rèn luyện cho học sinh kỹ năng, kỹ xảo giải bài tập, giáo viên nhấn mạnh vào những quy tắc có tính chất thuật giải và hướng dẫn học sinh vận dụng đúng đắn các quy tắc đó. Mặt khác, để chống lại việc lĩnh hội kiến thức một cách hình thức và máy móc, giáo viên cần yêu cầu học sinh hiểu được bản chất, cơ sở của các quy tắc, thuật giải đó. Do đó, trong dạy học, giáo viên cần tập luyện cho học sinh xem xét bài toán từ cả hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp, đặc biệt là về mặt ngữ nghĩa. Việc xem xét bài toán từ cả hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp chính là rèn luyện cho học sinh kỹ năng phân tích, tổng hợp và so sánh. Về sự phối hợp giữa hai mặt ngữ nghĩa và cú pháp trong giảng dạy ngôn ngữ Toán học, A. A. Stôliar cho rằng "Mặt ngữ nghĩa nói chung phải trội hơn trong tất cả các giai đoạn của quá trình giảng dạy, mặt cú pháp nên áp dụng chỉ ở chỗ mà ở đó cần phải nắm vững các angôrit xác định". Chẳng hạn, không ít học sinh đã cho rằng ; ; logc = ; -xn = - xn không cần chú ý tới n chẵn, n lẻ, ; ; ... Có những bài toán học sinh chỉ giải được theo một quy tắc hình thức mà không biết được bản chất của nó là gì. Ví dụ 1 chứng minh rằng là một số tự nhiên. Không ít em đã áp dụng công thức hình thức và lúng túng trong việc chứng minh tử số chia hết cho mẫu số. Điều đó có nghĩa là các em không nắm được bản chất của ký hiệu chính là số tập con gồm k phần tử lấy trong n phần tử. ! Phải thật sự hiểu được bản chất của ký hiệu mới có thể có được lời giải hay như vậy. Có những hiện tượng học sinh biến đổi đúng những chưa hẳn họ đã nắm được kiến thức một cách thực thụ. Có nhiều học sinh “nắm được” cú pháp một cách hình thức nhưng không hẳn hiểu được ngữ nghĩa của kí hiệu toán học. Ví dụ 2 Học sinh học rất “vần” một số công thức “lim của một tổng bằng tổng các lim”, “lim của một tích bằng tích các lim” hay “đạo hàm của một tổng bằng tổng các đạo hàm”,... nhưng không hiểu bản chất của các công thức đó. Ví dụ 3 Khi học xong định lí về giới hạn hàm số, học sinh trả lời nhanh kết quả tính với một cách suy nghĩ hình thức là thay giá trị x = 1 vào để cho kết quả. Suy nghĩ kiểu như vậy nên học sinh cho rằng . Điều đó cho thấy học sinh không hiểu lim. Bị ám ảnh bởi các ngôn ngữ thông thường của các từ trong tiếng Việt Ví dụ 4 Trong tiếng Việt đại là to hơn tiểu, học sinh ấn tượng với điều này, nên nghĩ rằng hàm số có cực đại lớn hơn cực tiểu. Nhưng thực ra, nếu hàm số có cực trị thì giá trị cực tiểu lại lớn hơn giá trị cực đại. Áp đặt những tính chất liên quan đến khái niệm này cho khái niệm khác có những từ gần giống Ví dụ 5 Học sinh nghĩ “Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương bằng tổng, hiệu, tích, thương các đạo hàm,” do bắt chước tính chất “Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương bằng tổng, hiệu, tích, thương các giới hạn”; Ngoài những sai lầm trên học sinh còn sử dụng ngôn ngữ một cách tùy tiện “đồ thị đồng biến”; “hàm số cắt trục hoành”; “điểm uốn của hàm số”; “tiệm cận của hàm số” ..., hay như nói “tổ hợp chập k của n phần tử là ”, “chỉnh hợp chập k của n phần tử là ” và không thấy được rằng, thay đổi một từ có thể làm thay đổi hẳn mệnh đề, có thể dẫn đến sai mệnh đề. Khi phiên dịch từ ngôn ngữ Tiếng Việt sang ngôn ngữ Toán học học sinh thường hay mắc sai lầm. Chẳng hạn, tìm m để hàm số có hai khoảng đồng biến trên toàn miền xác định của nó thì học sinh phiên dịch thành hai khoảng đồng biến là . 3. Sai lầm liên quan đến thao tác tư duy Ví dụ 1Tìm giá trị nhỏ nhất của Nhiều học sinh đã giải bài toán trên như sau ? Với mọi x, y thì . Vậy hay . Sai lầm ở đây là học sinh không chỉ ra các giá trị x, y để Giáo viên cần phân tích để học sinh nhận ra rằng , và nếu tồn tại giá trị sao cho thì mới kết luận . Đối với bài toán này thì không tồn tại Ví dụ 2 Tìm a để tập nghiệm trùng nhau. ? Ta có Do đó, yêu cầu bài toán . ! Học sinh đã không xét đến tính chất của hàm số là có tập giá trị [0; 1] ! Yêu cầu bài toán . Ví dụ 3 Với bài toán, giải hệ phương trình , nhiều HS đã giải như sau Trừ theo vế của phương trình 1 và 2 ta được Trường hợp 1 thế vào 1 ta có . Trường hợp 2 thế vào 1 ta có . Trong ví dụ này, đa số học sinh đã biết phân chia thành hai trường hợp để giải nhưng lại không thực hiện thao tác tổng hợp để kết luận về nghiệm của hệ phương trình. Ví dụ4 Phân tích ứng dụng tính đơn điệu của hàm số dẫn đến kết quả "Nếu hàm số fx đơn điệu trên a; b thì từ , sẽ tương đương với x = y". Tuy nhiên, do GV phân tích không sâu sắc nên dẫn tới tình trạng là HS chỉ nhớ được nội dung "Nếu hàm số fx đơn điệu thì ", mà không chỉ rõ f là hàm số đơn điệu trên khoảng và . Kết quả đó dẫn tới các sai lầm trong giải toán. Chẳng hạn, với phương trình , nhiều HS giải như sau Xét hàm số , hàm số này đạo hàm nên phương trình có không quá một nghiệm. Nhận thấy nên phương trình có nghiệm duy nhất là . Rõ ràng rằng HS đã không quan tâm đến điều kiện là hàm số phải đơn điệu trên khoảng . Ở đây, hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định và , suy ra trên mỗi khoảng phương trình có không quá một nghiệm. Xét riêng trên , phương trình có nghiệm duy nhất , và tương tự trên , phương trình có thêm nghiệm . Ví dụ 5 Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành. Có học sinh giải như sau ? Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành phương trình có nghiệm duy nhất. Đây là cách giải sai. Dễ thấy rằng đồ thị hàm bậc ba tiếp xúc với trục hoành nhưng không nhất thiết có 1 nghiệm vì ngoài điểm tiếp xúc ra còn tồn tại điểm cắt khác nữa. Sai lầm trong cách phân tích ở đây là học sinh quen với đồ thị hàm bậc hai, mà đồ thị hàm bậc hai là parabol nên parabol tiếp xúc với trục hoành thì phương trình thiết có 1 nghiệm kép. Tuy nhiên, sang hàm số bậc 3, bậc 4 thì điều đó không còn đúng nữa. Ngoài ra, một trong những biểu hiện sai lầm của HS là không tìm được dấu hiệu bản chất, ngộ nhận giữa dấu hiệu chung và dấu hiệu bản chất trừu tượng hoá sai; không tiên đoán được một số trường hợp suy biến của cái tổng quát, ... Ví dụ 6 Tìm nguyên hàm . Hãy khái quát hóa bài toán. HS đã tìm nguyên hàm như sau ? Vì nên . HS dễ dàng khái quát hóa được bài toán tổng quát Tìm nguyên hàm , với HS đã đưa ra kết quả sau . ! Tuy nhiên lời giải đó đã mắc phải sai lầm được chỉ ra như sau Nếu không nguyên thì không có nghĩa với những x làm cho không dương. Nếu thì Nếu thì . Nguyên nhân sai lầm ở đây là do HS không ý thức được sự suy biến của nguyên hàm khi thay đổi nên đã khái quát hóa sai. Ví dụ 7Tính đạo hàm của hàm số ? Ta có nên ! Nếu tính đạo hàm của hàm số tại một điểm bằng cách gán giá trị đối số để tìm giá trị hàm số rồi lấy đạo hàm thì với mọi hàm số và tại mọi điểm thuộc miền xác định của hàm số đều cho kết quả bằng 0. Đối với bài này giáo viên cần hướng dẫn học sinh sử dụng công thức tính đạo hàm tại một điểm bằng định nghĩa . 4. Sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan Trong cuộc sống cũng như trong toán học, cảm nhận, cảm thụ là rất quan trọng. Nói riêng đối với hình học thì vấn đề trực quan lại càng cần thiết. Trực quan giúp cho ta phát hiện vấn đề, chẳng hạn có những bài toán về hình học, nếu như ta vẽ hình chuẩn và thấy lặp đi lặp lại một số quy luật thì nhiều khi ta có thể khám phá ra một vấn đề ẩn náu đằng sau những hình ảnh trực quan đó. Tuy nhiên, trong toán học không chấp nhận việc chứng minh mà trong đó không có những lập luận có căn cứ một cách rõ ràng. Vì vậy trực quan chỉ là chỗ dựa để khám phá chứ không phải là phép chứng minh. Nếu không nhận thức được điều đó thì nhiều khi ta sẽ đưa ra những kết luận sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan. Ví dụ 1Cho P . Xác định m để P cắt d tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 3. ? Hoành độ giao điểm P và d là nghiệm của phương trình 1. Đặt = và gọi đồ thị của nó là , và gọi đồ thị của nó là đường thẳng . Khi đó, P cắt d tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB = 3 ứng với cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 3. !Thông qua hình ảnh trực quan học sinh cảm nhận rằng hai điểm A và B là những điểm cần tìm, ứng với m = 0. Hình 1 ! Học đã gặp phải sai lầm khi cho rằng P cắt d tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB = 3 tương đương với cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 3, do trực quan học sinh nhầm tưởng hai giao điểm của của P với đường thẳng d và hai giao điểm của với đường thẳng là có cùng tọa độ giao điểm, nhưng thực ra chỉ có cùng hoành độ nhưng không tung độ. Dẫn đến đáp án sai. Lời giải đúng là Hoành độ giao điểm P và d là nghiệm của phương trình 1. Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi . Gọi . Khi đó AB = 3 * Áp dụng định lí Vi-et * thõa mãn. Ví dụ 2Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A0; 2 và đường thẳng . Tìm trên đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại Bvà BC = 2AB. ?Thông quahình vẽ trực quan có học sinh dự đoánrằng tọa độ điểm B0; 1 và C2; 2hoặc C-2; 0. Sau đó, cố gắng chứng minh hai điểm B, C có tọa độ như thế là các điểm cần tìm. Điều này dẫn đến sai lầm. Hình 2 Lời giải đúng là và A0; 2 nên AB y=−2x+2 Tọa độ của B là nghiệm của hệ Gọi . Theo giả thiết BC = 2AB Vậy 5. Sai lầm liên quan đến không nắm vững nội hàm khái niệm hoặc điều kiện áp dụng định lí Sai lầm khi không nắm vững nội hàm các khái niệm Toán học Thực tiễn sư phạm cho thấy trong quá trình vận dụng khái niệm, việc không nắm vững nội hàm và ngoại diên khái niệm sẽ dẫn tới học sinh hiểu không trọn vẹn, thậm chí hiểu sai lệch bản chất khái niệm. Mặt khác, nhiều khái niệm Toán học là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái niệm trước đó, việc không nắm và hiểu không đúng khái niệm có liên quan làm học sinh không hiểu, không có biểu tượng đúng về khái niệm mới. Sai lầm về các khái niệm Toán học đặc biệt là các khái niệm ban đầu có tính chất nền tảng sẽ dẫn đến hệ quả tất yếu học kém toán. Vì vậy có thể nói sự “mất gốc” của học sinh về kiến thức Toán học trước hết coi là sự “mất gốc” về các khái niệm. Ví dụ 1Không nắm vững khái niệm nghiệm của phương trình và bất phương trình nên khi giải phương trình học sinh không thừa nhận kết quả trên là nghiệm, do lâu nay học sinh nghĩ rằng nghiệm của phương trình là các giá trị rời rạc, đơn lẻ mà không phải là một khoảng, một đoạn. Ví dụ 2Nắm khái niệm hàm số, khái niệm giới hạn hàm số một cách hình thức nên không ít học sinh cho rằng kí hiệu fx là kí hiệu của tích hai đại lượng fx, xem ; . Chẳng hạn, = Ví dụ 3 Do không nắm vững khái niệm phương trình nên học sinh không cho rằng là phương trình theo ẩn m. Học sinh quen với các phương trình theo ẩn x, ẩn y, ẩn z,... nên khi gặp phương trình chứa đồng thời hai giá trị x và m thì học sinh mặc nhiên cho rằng x ẩn và m là tham số. Hay do không hiểu khái niệm nghiệm hệ phương trình nên khi giải hệ cho nghiệm x = 2; y = 3 thì kết luận hệ phương trình có hai nghiệm. Ví dụ 4Do nắm khái niệm tiếp xúc một cách trực quan từ hình vẽ nên dẫn tới sai lầm khi giải bài toán “tìm tham số để đồ thị hàm số bậc ba tiếp xúc với trục hoành”. Học sinh quan niệm tiếp xúc là đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất, hơn nữa không hình dung được khái niệm tiếp xúc của hai đường nên cho rằng tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số bậc ba không tiếp xúc với hàm bậc ba. Ví dụ 5Không nắm vững “hệ trục trục tọa độ Đề các vuông góc” nên nhiều khi học sinh lấy đơn vị đo trên hai trục tọa độ khác nhau cho dễ vẽ đồ thị của một hàm số nào đó. Ví dụ 6Học sinh không nắm vững giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của nên khi tìm ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, không tìm điều kiện xẩy ra dấu “=” của biến số, giả sử không tồn tại dấu “=” học sinh vẫn cứ kết luận tồn tại giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất. Chẳng hạn như ? Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Học sinh giải như sau ! . Mâu thuẫn với giả thiết Đối với bài toán này, do ràng buộc điều kiện nên ta không thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy thông thường đối với hai số dương được. Bằng cách đoán thì S nhận giá trị nhỏ nhất, hay là điểm rơi. Lúc này ta sẽ giả định sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số sao cho tại “điểm rơi a = 3” thì , tức là ta có lược đồ “điểm rơi” sau đây . Lời giải đúng với a = 3 thì MinS = . Ví dụ 7Một sai lầm khác khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là học sinh có khi xem giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất là biểu thức chứa biến và cho dấu bằng xẩy ra để suy ra giá trị cần tìm. Chẳng hạn, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . ? Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có với mọi suy ra với mọi . Dấu “=” khi Vậy giá trị nhỏ nhất của M là . ! Nhầm lẫn giữa quy tắc này cho quy tắc kia, chẳng hạn nhầm lẫn giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân trong Đại số tổ hợp. Ví dụ 8 Một lớp có 20 bạn nữ và 23 bạn nam. Cần chọn hai bạn nam và nữ đi tham dự đại hội đoàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn? ? Học sinh giải như sau Áp dụng quy tắc cộng cho rằng 20 + 23 = 43 cách chọn. Thực ra ở đây phải dùng quy tắc nhân và ta có 20. 23= 460 cách chọn. Ta thấy rằng nếu giáo viên chỉ chọn một bạn thì mới áp dụng quy tắc cộng. Sai lầm liên quan đến sử dụng định lý Cấu trúc thông thường của định lý có dạng A B trong đó A là giả thiết của định lý, B là kết luận của định lý. Sai lầm phổ biến khi học định lý do xem thường ngôn ngữ và các điều kiện của giả thiết A nên suy ra các kết luận sai lầm không có A vẫn suy ra B; không có A suy ra không có B; sử dụng định lý tương tự chưa đúng. Không nắm vững kết luận B nên sử dụng B mà không nhớ A; có B suy ra có A; có A nhưng suy ra không phải B, mà chỉ chú trọng tới phương pháp giải Toán. Do đó trong quá trình áp dụng vào giải Toán học sinh hay áp dụng thiếu điều kiện hoặc sử dụng đúng nhưng không chính xác; sử dụng định lí như định nghĩa. Đặc biệt là những định lý học sinh bị “mất gốc” hoặc không hiểu bản chất nên khi sử dụng định lý không hiểu rõ phạm vi sử dụng của định lý. Ví dụ 1 Tính tích phân I = ? I = !Ta thấy rằng hàm số gián đoạn tại x = 0 nên không sử dụng được công thức Niutơn – Lapnít để tính tích phân trên. Giả thiết của công thức Niutơn – Lapnít là hàm số y = fx liên tục trên [a; b] nên cách giải trên thiếu việc kiểm tra điều kiện áp dụng định lí. Thực ra tích phân trên không tồn tại. Ví dụ 2 Giải hệ phương trình ? Xét hàm nên hàm số đồng biến do đó . Thay x = y vào hệ ta tìm được các nghiệm là . ! Thực ra, ta có định lý Nếu thì ft đồng biến trên a; b. Nói cách khác ta có định lí nêu lên mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm và sự đơn điệu của hàm số trên một khoảng a; b. Không có định lí đề cập đến vấn đề đó trên một tập D bất kì, nói riêng khi D là hợp của hai khoảng rời nhau. Hơn nữa, trong Sách giáo khoa hiện hành cũng không có khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến trên một tập bất kỳ, mà chỉ có trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng thôi! Ta lại xét tình huống học sinh gặp sai lầm như sau Ví dụ 3 Giải phương trình 1 ? Với điều kiện thì 1 Xét hàm số , suy ra hàm số đồng biến. Mà f3 = 0 nên x = 3 là nghiệm duy nhất. ! Sai lầm ở chỗ Hàm fx đồng biến trên và đồng biến trên , do đó phương trình fx = 0 có không quá một nghiệm trên và có không quá một nghiệm trên , chứ không phải phương trình fx = 0 có không quá một nghiệm trên . Như vậy do f3 = 0 nên x = 3 là nghiệm duy nhất trên , ngoài ra fx = 0 vẫn có thể có nghiệm trên . Sai lầm trong khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm trong bài toán chứng minh bất đẳng thức thường không giống nhau, với mỗi bài toán học sinh gặp các lỗi khác nhau. Cụ thể, ta phân tích ở các ví dụ sau Ví dụ 4 So sánh và 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số ta có đẳng thức xảy ra ! Học sinh đã không để ý đến điều kiện trong bất đẳng thức Cauchy áp dụng cho 2 số a và b là . Lời giải đúng Ta có + khi đó + khi đó Ví dụ 5 Chứng minh rằng với mọi a ta có ? Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a và 1 - a ta có ! Học sinh gặp sai lầm như đã phân tích ở ví dụ 1, tức là đã chỉ áp dụng định lí Cauchy cho 2 số a và b nếu a và b đều không đây, a và 1 – a không âm khi và chỉ khi . Ví dụ 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng ? Học sinh giải Phân tích . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm , ta có Vậy min B = ! Dấu hiệu "mỗi số hạng không âm" thỏa mãn, tuy nhiên dấu hiệu "tích không đổi" thỏa mãn. Tuy nhiên, với cách phân tích các số hạng của B như trên đẳng thức không xảy ra. Tách đúng phải là . Ở mức độ khó hơn, GV có thể ràng buộc thêm giả thiết , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của . Sẽ rất nhiều HS làm tương tự như bài toán trên, phân tích , nhưng tiếc rằng đẳng thức xảy ra tại . Lúc này GV có thể gợi ý như sau Hãy nhận xét giá trị của B khi cho một giá trị rất gần số 0?! Cho thêm một số giá trị khác của x thuộc và tính giá trị B tại những điểm đó, so sánh với giá trị của B tại ! Với cách làm như vậy, HS sẽ dự đoán được rằng giá trị nhỏ nhất của B đạt được tại . GV gợi ý thêm để củng cố niềm tin cho HS khi liên tưởng đến bất đẳng thức Cauchy để tìm giá trị nhỏ nhất của B là hoàn toàn tự nhiên, nhưng áp dụng cho những số nào để đẳng thức xảy ra? Để ý rằng nên suy ra hay . Chúng ta cần phân tách B thành tổng các số hạng có thể dư ra lượng , lượng còn lại có tích không đổi. . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số đầu tiên và đẳng thức xảy ra tại nên suy ra . Do đó táchB như sau . Ví dụ7 Sai lầm trong viêc áp dụng các định lý về phép biến đổi tương đương “Nếu cộng vào hai vế của một phương trình với cùng một hàm số mà không làm thay đổi tập xác định của phương trình đó thì ta được phương trình tương đương” Điều cần chú ý ở đây là phép biến đổi không làm thay đổi điều kiện của phương trình. Trong khi thực hiện phép biến đổi tương đương nhiều học sinh chỉ làm theo “quán tính” mà hoàn toàn không ý thức được việc biến đổi và cũng không hiểu cơ sở của phép biến đổi đó. Chính điều này tạo cơ sở cho những sai lầm trong biến đổi như sau 3x+ Phương trình đã cho có điều kiện còn khi thực hiện phép chuyển vế rút gọn , ta đã làm mất điều kiện nên phép biến đổi đó không phải là phép biến đổi tương đương. Do đó, xuất hiện nghiệm ngoại lai x = 0. Hay như bài toán sau Giải phương trình ? ! Phương trình vô nghiệm do biến đổi thừa điều kiện , tức là phép biến đổi cộng cả hai vế của phương trình với là không tương đương. Việc nắm bắt kiến thức về phép biến đổi tương đương để giải phương trình, bất phương trình là điều không dễ đối với học sinh, đặc biệt là phép biến đổi bình phương hai vế thường dùng để giải phương trình, bất phương trình vô tỉ. Học sinh thường nhầm lẫn giữa phương trình hệ quả và phương trình tương đương. Ví dụ 8 Khi giải phương trình 1 có học sinh thực hiện như sau ? 1 ! Học sinh thực hiện phép biến đổi bình phương hai vế nhưng đã làm thay đổi tập xác định của phương trình 1, dẫn đến xuất hiện phương trình hệ quả. Vì thế đã không loại nghiệm x = 1. Ví dụ 9 Sai lầm trong việc áp dụng hệ quả của định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục. "Nếu hàm số liên tục trên đoạn [a; b] và thì tồn tại ít nhất một điểm sao cho " [79, tr. 171]. Chẳng hạn, xét hàm số Ta có , nhưng giả thiết f liên tục trên đoạn [-1; 1] không thỏa mãn. Do đó, không thể kết luận phương trình có nghiệm trên . Vận dụng định lí máy móc, đưa ra những điều kiện không cần thiết chẳng hạn, trong bài toán về tam thức bậc hai “Tìm điều kiện để fx = a có hai nghiệm phân biệt ”, học sinh thường đưa ra điều kiện thỏa mãn bài toán như sau . Trong hệ điều kiện này, điều kiện đã bị thừa. Sự “thừa” này tuy không sai nhưng nhiều khi gặp phải những cồng kềnh thì có thể chấp nhận thất bại ngay chỗ đó. Nói cách khác, lẽ ra không cần xử lí điều kiện thì đằng này lại hướng vào việc giải điều kiện , mà nhiều khi điều này lại không vượt qua nổi, cho nên ta chấp nhận bỏ cuộc 6. Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán Khi đặt ẩn phụ thường lãng quên đặt điều kiện của ẩn phụ, và cho rằng, phương trình fx = 0 có nghiệm khi và chỉ khi phương trình gt = 0 có nghiệm, trong đó gt là biểu thức thu được từ fx thông qua một phép đặt ẩn phụ nào đó. Nói cách khác, nếu phương trình xuất phát có dạng f[gx] thì học sinh thường đặt t = gx để đưa về phương trình ft = 0, và quan niệm rằng, phương trình f[gx] = 0 có nghiệm khi và chỉ khi ft = 0 có nghiệm. Ví dụ 1Giải phương trình ? Đặt , phương trình trở thành . ! Học sinh sai lầm khi không đặt điều kiện cho ẩn t, sau đó giải theo quán tính hay theo thói quen học sinh lại tiếp tục sai lầm khi viết logarit của số âm. Ví dụ 2 Tìm m để phương trình có nghiệm. ? Phương trình 1 Đặt , ! Phương trình 1 trở thành Phương trình 1 có nghiệm khi và chỉ khi phương trình 2 có nghiệm ! Sai lầm của học sinh trong bài toán này là điều kiện ở trên chưa phải là điều kiện đủ với t, điều kiện của t phải là Khi đặt ẩn phụ, mặc dù có đặt điều kiện, nhưng điều kiện quá hẹp hoặc quá rộng không sát, đặt ẩn phụ t = để đưa phương trình về ẩn t, tuy nhiên học sinh chỉ đưa ra một điều kiện cần đối với t, chứ không phải là điều kiện cần và đủ. ! Ngoài sai lầm do đặt điều kiện ẩn phụ không chính xác thì trong khi giải phương trình, bất phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ, học sinh thường gặp sai lầm trong phát biểu chuyển đổi yêu cầu bài toán từ ẩn ban đầu sang ẩn phụ. Một sai lầm phổ biến đó là học sinh thường mang yêu cầu bài toán đối với ẩn ban đầu sang áp dụng cho ẩn phụ. Chẳng hạn Ví dụ 3 Giải bất phương trình ? Bài này với học sinh kém thì họ bình phương hai vế một cách không ngần ngại. Có những học sinh khá hơn lập luận rằng Bất phương trình tương đương với . ! Sở dĩ học sinh lập luận như trên bởi vì họ nghĩ, với bất phương trình dạng , điều kiện của x là fx ≥ 0. Do vế trái không âm, mà vế phải không nhỏ hơn vế trái nên vế phải cũng không âm. Vì vậy hai vế đều không âm, ta có quyền bình phương hai vế để được bất phương trình tương đương . Với lập luận như thế, họ đã tìm được hoặc . Thực ra, không thể thỏa mãn bất phương trình ban đầu bởi với tồn tại giá trị sao cho 2x – 7 < 0. Nguyên nhân sai lầm “vế trái ≥ 0, vế trái ≤ vế phải vế phải ≥ 0” điều này chỉ đúng đối với những x là nghiệm của bất phương trình, do đó là tương đương với hệ trên tập nghiệm của bất phương trình chứ không phải là tương đương trên tập xác định. Ví dụ 4 Giải bất phương trình ? Bất phương trình Phép biến đổi đã bỏ sót nghiệm x = 1. ! Bất phương trình Một số sai lầm khi học sinh chuyển đổi từ biến này sang biến khác mà không tìm miền giá trị của biến mới. Ví dụ 5 Tìm cực trị của hàm số ? Đặt Xét ! Nguyên nhân sai lầm do tìm điểm cực trị theo x nên khi đổi biến số và lấy đạo hàm thì cần sử dụng công thức đạo hàm cho hàm hợp . Ví dụ 6 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ? Một số học sinh giải như sau đặt x; hàm số viết lại , Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. ! Sai lầm Học sinh đã chuyển về bài toán không tương đương cho rằng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của fx trùng với giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của gt, nên sau khi đổi biến đã không tìm miền xác định của gt. Lời giải đúng Ta có Qua một số ví dụ và phân tích sai lầm ở trên chúng ta nhận thấy học sinh chưa nắm rõ bản chất của định nghĩa dẫn đến không nắm vững kiến thức cơ bản liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. 7. Sai lầm liên quan đến chủ nghĩa hình thức Theo nhà toán học A. Ia. Khinsin, chủ nghĩa hình thức trong nhận thức của học sinh thường bắt nguồn từ chỗ “Trong ý thức học sinh có sự phá vỡ nào đó mối quan hệ tương hỗ, đúng đắn giữa nội dung bên trong của sự kiện toán học và cách diễn đạt bên ngoài của sự kiện ấy”. Ví dụ 1 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn ? Học sinh cho rằng x2 là nghiệm lớn còn x1 là nghiệm nhỏ nên sau khi tìm được điều kiện có nghiệm đã tìm từng nghiệm rồi thay vào hệ thức cho trong bài toán, với suy nghĩ như vậy làm mất vai trò bình đẳng giữa hai nghiệm, thực chất hai nghiệm có vai trò như nhau, x1, x2 chỉ là kí hiệu hình thức, hơn nữa nếu các nghiệm có chứa căn bậc hai thay vào được phương trình vô tỷ, rất dễ học sinh giải sai khi phương trình phức tạp. ! Phương trình có hai nghiệm phân biệt * Theo Định lí Viét và giả thiết thì x1, x2 thỏa mãn Giải hệ và so sánh với * tìm được m cần tìm là m = 3 hoặc Ví dụ 2 Giải bất phương trình ? Học sinh bị hình thức của bài toán che khuất nên sau một thời gian biến đổi không tìm ra hướng giải quyết. !Chỉ cần chú ý một chút ta có Nếu và luôn đúng Nếu và mẫu thuẫn với giả thiết Vậy nghiệm của bất phương trình là . Ví dụ 3 Học sinh bị ảnh hưởng bởi hình thức nên cho rằng –x là số âm và tương tự như vậy có dấu trừ đằng trước là nhỏ hơn 0, nên học sinh không chấp nhận khi viết vì cho rằng biểu thức dưới căn bậc hai là âm. Ví dụ 4Giải và biện luận phương trình ! Học sinh khó khăn không giải được dạng toán này vì phương trình bậc ba tổng quát đối với họ là không có thuật giải. Khi được giáo viên gợi ý xem phương trình trên là phương trình bậc hai đối với ẩn a và tạm xem x là tham số thì học sinh vẫn phân vân với kiểu trao đổi vai trò của ẩn và tham số cho nhau. Nhưng thực ra nếu đưa phương trình về ẩn a ta được phương trình Khi đó bài toán được giải dễ dàng hơn, chỉ cần giải và biện luận . Cách giải trên có được chính là nhờ cách nhìn linh hoạt, không hình thức, nhìn rõ đúng bản chất từng vai trò của mỗi kí hiệu trong phương trình. Cũng chính sai lầm như vậy nên học sinh có thể giải được hệ phương trình 3 ẩn x, y, z nhưng không giải được hệ có dạng như thế với các ẩn a, b, c, chẳng hạn Giải hệ phương trình ẩn x, y, z , học sinh không biết đổi vai trò giữa ẩn và tham số để giải. 8. Những sai lầm liên quan đến suy luận Suy luận là một trong những hình thức của tư duy. Suy luận là một quá trình suy nghĩ để rút ra một mệnh đề mới từ một hoặc nhiều mệnh đề đã cho. Một suy luận thường có cấu trúc logic , trong đó A là tiền đề, B là kết luận. Cấu trúc logic phản ánh cách thức rút ra kết luận tức là cách lập luận. Học sinh thiếu kiến thức về logic, sử dụng mệnh đề sai hoặc ngộ nhận là mệnh đề đúng, đánh tráo luận đề sẽ mắc sai lầm trong suy luận. Sai lầm trong suy luận khi giải Toán có các kiểu sai lầm sau 8. 1. Sai lầm về luận cứ Sai lầm thuộc loại này là do trực giác dựa vào các mệnh đề sai do ngộ nhận, hoặc mệnh đề chưa được chứng minh là đúng, hoặc dựa vào mệnh đề tương đương với mệnh đề cần chứng minh. Ví dụ 1 Tìm m để fx = ? Để fx ≥ 0 . ! Kết quả trên tuy đúng nhưng là đúng một cách ngẫu nhiên. Về nguyên tắc ta phải xét riêng trường hợp hệ số bậc 2 bằng 0. Chỉ khi nó khác 0 ta mới được dùng mệnh đề trên. Ví dụ 2 Giải hệ bất phương trình 1 ? Sai lầm thường gặp 1 . ! Với thì 1 nghiệm đúng, nên là nghiệm của 1. Cách giải trên đã làm mất nghiệm của hệ phương trình. Lời giải đúng 1 Ví dụ 3 Tìm a để tập nghiệm trùng nhau. ? Ta có Do đó, yêu cầu bài toán . ! Học sinh đã không xét đến tính chất của hàm số là có tập giá trị [0; 1] ! Yêu cầu bài toán . Ví dụ 4 Tính giới hạn Một số học sinh thực hiện ! Cách giải trên đã sai lầm khi coi . Bài toán này phải xét giới hạn trái và giới hạn phải tại x = 0. Ta tính được . Do đó, giới hạn không tồn tại. 8. 2. Sai lầm về luận chứng Sai lầm này chủ yếu sai lầm về suy luận không logic Ví dụ 1 Giải phương trình * Sai lầm thường gặp * ! ! Nguyên nhân sai lầm với thì mẫu thức nên là nghiệm ngoại lai. Ví dụ 2 Giải phương trình ? ! Phép biến đổi từ thành là không tương đương, tuy rằng kết quả vẫn đúng. Ví dụ 3 Kinh nghiệm cho thấy trong việc chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc sai lầm sau đây Xuất phát từ bất đẳng thức phải chứng minh, họ thực hiện một loạt phép biến đổi và sau cùng đi tới một bất đẳng thức quen thuộc, chẳng hạn, chứng minh Bất đẳng thức Cauchy với hai số a, b không âm thì Học sinh lập luận như sau Bình phương hai vế của bất đẳng thức 1 ta được Nhân hai vế của 2 với 4 ta được a + b2 ≥ 4ab. Chuyển vế phải sang vế trái, ta có a + b2 – 4ab = a - b2 ≥ 0. Vì bất đẳng thức a - b2 ≥ 0 là đúng nên bất đẳng thức 1 cũng đúng. Lập luận như trên của học sinh, về mặt logic, chưa phải là một phép chứng minh. Đó chỉ là một cố gắng để tìm đường lối chứng minh. Nếu ta kí hiệu các mệnh đề kế tiếp ở trên là ; ; ; 0. lập luận trên được mô tả như sau . Để chứng minh bất đẳng thức 1 cần lập luận theo chiều ngược lại, tức là chứng minh theo dãy kéo theo sau . Học sinh hay vận dụng các quy tắc suy luận sai nên khi chứng minh phản chứng không biết phủ định một mệnh đề, nếu biết phủ định thì không phủ định hoàn toàn xét thiếu trường hợp, như lấy “lớn hơn” để mẫu thuẫn với “bằng nhau” là sai lầm bỏ sót, còn nếu lấy “không bằng nhau” hoặc “nhỏ hơn” lại phạm sai lầm “trùng lặp”, có nhiều cụm từ “nhiều nhất”, “ít nhất” gây nhiễu cho học sinh không biết nên phủ định thế nào, nhất là các mệnh đề chứa lượng từ với mọi, tồn tại. Nhiều khi biết phải dẫn tới mâu thuẫn thì mới kết thúc chứng minh, nhưng học sinh chỉ nghĩ tới mâu thuẫn với giả thiết chứ không nghĩ rằng, có thể mâu thuẫn với một định lí, tiên đề, một kết luận đã chứng minh đúng, hoặc là dẫn đến hai mâu thuẫn lẫn nhau, không biết kết hợp cùng giả thiết dẫn tới mâu thuẫn với một chân lí khác. Trong quá trình chứng minh phản chứng, học sinh xem thường khi kết luận cuối cùng nên dễ sai lầm khi kết luận lấy kết luận trung gian thay thế cho kết luận cuối cùng hoặc dùng một kết luận bộ phận thay thế cho kết luận toàn bộ. Nhiều học sinh không hiểu đâu là điều kiện cần, điều kiện đủ. Trong bài sử dụng kí hiệu một cách tùy tiện, đặc biệt là phép toán kéo theo lại là nguyên nhân dẫn tới nhiều sai lầm. Sự thiếu hiểu biết về các quy tắc suy luận nên dẫn tới sai lầm trong lí luận và chứng minh, có học sinh cho rằng Nếu dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn, mà dãy số có giới hạn nên dãy số phải tăng và bị chặn trên. Ngay việc sử dụng từ nối “hoặc”, “và” vẫn là điều khó khăn của rất nhiều học sinh. Chẳng hạn, khi biến đổi phương trình tích A. B = 0, học sinh vẫn viết A = 0 và B = 0. Không nắm vững mối quan hệ giữa phép phủ định và các lượng từ nên học sinh dễ phát biểu sai các mệnh đề và nhiều khi dẫn đến các chứng minh sai, hoặc khó khăn trong chứng minh. Chẳng hạn, để chứng minh phương trình có nghiệm, học sinh nghĩ tới điều kiện để phương trình có nghiệm, ít để ý là cần chỉ ra một nghiệm là đủ. Thậm chí, khi giáo viên chỉ một nghiệm rõ ràng mà học sinh vẫn chưa chịu đó là phép chứng minh cứ tưởng phép chứng minh phải là một lí luận gì đó thật ghê gớm!, hoặc như chứng minh hàm số không có tiệm cận, thì học sinh không biết làm như thế nào. IV. HIỆU QUẢ MANG LẠI CỦA ĐỀ TÀI - Đề tài được thiết kế cho giáo viên nhằm giúp giáo viên có cái nhìn chiều sâu hơn về nhận thức toán học cũng như tư duy logic của học sinh trong quá trình giải toán. Từ đó, giáo viên có thể dự đoán và có biện pháp sửa chữa sai lầm của học sinh trong dạy học các nội dung cụ thể. - Đối tượng để áp dụng là học sinh đại trà, có khả năng học toán từ trung bình trở lên. - Kết quả đạt được Sau khi bản thân nghiên cứu đề tài, đồng thời triển khai đề tài vận dụngvào dạy toán thì các em học sinh hạn chế tối đa tình trạng giải sai, “sai lầm nối tiếp sai lầm”, tăng cường tính tích cực và độc lập cho học sinh trong tư duy cũng như quá trình vận dụng kiến thức vào thực tiễn. C. KẾT LUẬN BÀI HỌC KINH NGHIỆM Để đề tài mang lại hiệu quả cao hơn thì cần phải bổ sung những mảng kiến thức liên kết sâu sát hơn với thực tiễn, mang tính “lối mòn”,phân dạng bài toán cụ thể, chi tiết hơn nữa và đối với mỗi dạng cần nêu kinh nghiệm giải. Bên cạnh đó, phải nêu được lời giải đúng chi tiết. II. Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI Các sai lầm của học sinh khi giải Toán còn tương đối phổ biến. Những sai lầm này được nhìn nhận từ góc độ các hoạtđộng toán học, đồng thời phân tích những nguyên nhân chủ yếu dẫn đến các khó khăn, và sai lầm đó; Từ đó giúp học sinh hình thành được phương pháp và kỹ năng giải toán góp phần phòng tránh và sửa chữa các sai lầm của học sinh khi giải Toán, đồng thời góp phần quan trọng vào việc nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông. III. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI Đề tài dùng để rèn luyện các kỹ năng giải toán cho học sinh ở cấp THPT để các em đạt điểm tối đa khi tham gia kỳ thi THPT Quốc gia Hướng phát triển của đề tài Bổ sung thêm các bài toán khó,đa dạng, mang tính ứng dụng và gắn liền với thực tiễn hơn đồng thời đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần hạn chế sai lầm của học sinh trong dạy học Toán. IV. NHỮNG KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT Đề tài này tôi viết với tinh thần trách nhiệm cao, mong muốn phần nào giúp thầy cô dạy Toán, các em học sinh THPT có tài liệu tham khảo và học tập, cũng hi vọng các thầy giáo, cô giáo và các em tìm thấy nhiều bổ ích, lí thú ở đề tài. Tuy nhiên đề tài chắc chắn sẽ không thoát khỏi thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự động viên, đóng góp chân thành của quý thầy cô và các em để đề tài được phong phú hơn, hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Trần Văn Hạo Tổng Chủ biên – Vũ Tuấn Chủ biên, Doãn Minh Cường – Đỗ Mạnh Hùng – Nguyễn Tiến Tài 2012, Đại số 10, NXB Giáo dục. 2. Trần Văn Hạo Tổng Chủ biên – Vũ Tuấn Chủ biên, Doãn Minh Cường – Đào Ngọc Nam – Lê Văn Tiến – Vũ Viết Yên 2013, giải tích 11, NXB Giáo dục. 3. Trần Văn Hạo Tổng Chủ biên – Vũ Tuấn Chủ biên, Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuất 2013, giải tích 12, NXB Giáo dục. 4. Nguyễn Thi Mỹ Hằng – Phạm Xuân Chung – Trương Thị Dung 2016, Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường THPT, NXB Đại học Sư phạm. 5. Nguyễn Bá Kim 2002, Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học sư phạm. 6. Lê thống Nhất 1996, Rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh phổ thông trung học thông qua việc phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải Toán, Luận án Phó tiến sĩ khoa học Sư phạm – Tâm lí, Trường Đại học sư phạm Vinh, Vinh. 7. Các tài liệu trên mạng Internet. ____________________________________ Së gi¸o dôc vµ µo t¹o Thanh hãa TR¦êNG thpt Hµm rång -˜˜&™™- S¸ng kiÕn kinh nghiÖm NGHI£ N CøU MéT Sè SAI LÇM KHI GI¶I TO¸N VECT¥ Vµ TO¹ §é Giáo viên Lê Thị Thủy Chức vụ Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực môn Toán Thanh hãa - 2016 MỤC LỤC MỤC LỤC.. 1 1. MỞ ĐẦU.. 2 Lý do chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu 2 Đối tượng nghiên cứu 3 Phương pháp nghiên cứu 3 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM... 4 Sai lầm do không nắm vững các khái niệm, các công thức, tính chất, vị trí tương đối giữa các hình. 4 Sai lầm không xét hết các trường hợp của bài toán. 8 Sai lầm không thử lại kết quả. 11 Sai lầm khi định dạng các hình do nắm tính chất hình không vững. 13 Sai lầm khi sử dụng lời giải không chính xác. 14 3. KẾT LUẬN.. 17 Kết quả thực nghiệm.. 17 Kết quả kiểm tra. 17 Kết quả chung. 17 Bài học kinh nghiệm.. 17 Kết luận. 17 Ưu điểm.. 17 Nhược điểm 18 Hướng phát triển. 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO.. 19 1. MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Trong giai đoạn hiện nay, mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam đã được cụ thể hoá trong các văn kiện của Đảng, đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VIII Đảng Cộng Sản Việt Nam và kết luận của hội nghị trung ương khoá IX, mục tiêu này gắn với chính sách chung về giáo dục và đào tạo “ Giáo dục và đào tạo gắn liền với sự phát triển kinh tế, phát triển khoa học kĩ thuật xây dựng nền văn hoá mới và con người mới…” “Chính sách giáo dục mới hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có tay nghề…” Chương trình hình học lớp 10, học sinh được học về vectơ, các phép toán về vectơ dùng làm phương tiện trung gian để chuyển những khái niệm hình học cùng những mối quan hệ gữa những đối tượng hình học sang những khái niệm đại số và quan hệ đại số. Với ý nghĩa như vậy, có thể coi phương pháp vectơ và tọa độ là phương pháp toán học cơ bản được kết hợp cùng phương pháp tổng hợp đề giải toán hình học trong mặt phẳng và trong không gian. Trong số các công trình nghiên cứu về sai lầm của các học sinh trong giải toán thì số công trình đề cập tới các sai lầm của học sinh trong giải toán vectơ và tọa độ còn tương đối ít. Với các lí do nêu trên, đề tài được chọn là ”Nghiên cứu một số sai lầm khi giải Toán vectơ và tọa độ” Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh khắc phục được một số sai lầm khi giải toán vectơ và tọa độ. Có thể nói, trong sách giáo khoa chỉnh lý hiện hành, vectơ và toạ độ là phương pháp chủ đạo trong giải toán hình học, mức độ yêu cầu của tư duy rất cao, vì nhiều bài toán không cần đến hình vẽ, và có bài cũng không thể vẽ tường minh được. Đây cũng là một khó khăn đối với học sinh. Hệ thống lý thuyết về vectơ và toạ độ trong chương trình cũng khá đầy đủ để giải quyết hầu hết các dạng toán cơ bản. Tuy vậy, hệ thống bài tập còn chưa đầy đủ. Cũng có thể do thời gian phân phối cho môn học, do yêu cầu giảm tải của chương trình. Nhưng đây cũng chính là một mâu thuẫn trong thực hành kỹ năng và phương pháp cho học sinh. Vì trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng gần đây, bài tập về phần hình học cũng không phải dễ lắm, dạng bài tập cũng có điều mới lạ so với dạng bài tập sách giáo khoa. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 10 và 12 qua các năm giảng dạy từ trước đến nay. Về các đường bậc hai như đường tròn và cônic, các khái niệm và tính chất khá phức tạp khi giải toán, học sinh dễ sa vào con đường phức tạp hoá bài toán nếu nhìn nhận theo góc độ thông thường, cần phải kết hợp linh hoạt được tính chất của hình học phẳng đã học ở bậc THCS thì bài toán mới gọn nhẹ. Cũng vì các lý do trên, nên học sinh thường gặp các sai lầm trong khi giải toán bằng phương pháp vectơ và toạ độ. Chỉ rõ cho các em được những sai lầm này cũng là một cách để các em nắm lý thuyết vững hơn và hạn chế các sai lầm trong giải toán; góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường phổ thông. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu là xây dựng cơ sở lý thuyết, thống kê đưa ra các bài toán tổng quát. 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NHỮNG SAI LẦM GẶP CỦA HỌC SINH SAU KHI GIẢI TOÁN VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ Sai lầm do không nắm vững các khái niệm, các công thức, tính chất, vị trí tương đối giữa các hình. Ví dụ 1 Xác định góc giữa hai đường thẳng sau d 3x+y+3=0 và d' -x-2y+1=0. Giải Đường thẳng d có chỉ phương d=1,-3 Đường thẳng d' có chỉ phương d'=-2,1 Góc giữa d và d' là cos d , d'= Þ d,d'=1350 . Nhận xét Sai lầm ở chỗ là đã đồng nhất góc giữa hai vectơ chỉ phương với góc giữa hai đường thẳng. Hơn nữa chưa nắm vững khái niệm góc giữa hai đường thẳng là không tù. Lời giải đúng Làm tương tự trên với công thức cosd,d' =cos d , d'= Þ d,d'=450. Ví dụ 2 Cho DABC, biết A=1,1, B=-1,-1/2, C=4,-3. Viết phương trình đường phân giác trong của góc A. Giải Ta có phương trình AB Û 3x-4y+1=0 Phương trình AC Û 4x+3y-7=0 Phương trình hai đường phân giác góc A là Vì phân giác trong góc A, nên chọn dấu âm, do đó phương trình phân giác trong góc A là 7x-y-6=0. Nhận xét Cách giải trên được đáp số đúng, nhưng suy luận phân giác trong góc A, nên lấy dấu âm là chưa chính xác. Cách giải đúng Cách 1 Ta có phương trình AB 3x-4y+1=0 AC 4x+3y-7=0 Phương trình các đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc A có phương trình Û Thay tọa độ của B, C lần lượt vào vế trái của d1 thì ta được Ta có B, C nằm cùng phía đối với d1=> d1 là phân giác ngoài => d2 là phân giác trong. Vậy phương trình phân giác trong góc A là 7x-y-6=0. Cách 2 Gọi D=x,y là chân phân giác trong góc A thì ta có Þ vì là phân giác trong nên hai vectơ này ngược chiều, nếu là phân giác ngoài thì 2 vectơ này cùng chiều Û . Vậy D=2/3,-4/3. Phương trình phân giác trong góc A là AD Û 7x-y-6=0. Cách xác định chân đường phân giác trong này còn rất hữu hiệu trong không gian, vì viết phương trình phân giác trong không gian khá phức tạp. Ví dụ 3 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d1,d2 lần lượt có phương trình là và Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua M2 ;1 ;1, vuông góc với d1 , cắt d2 . Giải Gọi P là mặt phẳng đi qua M2 ;1 ;1 và vuông góc với d1 P có phương trình là 3x-2+2y-1+z-1=0 3x+2y+z-9=0. Gọi Q là mặt phẳng đi qua M2 ;1 ;1 và chứa d2 . P có phương trình là 8x-3y+6z-19=0. Ta có d=P Q nên d có phương trình là Nhận xét Lời giải trên chưa chứng tỏ được điều kiện d cắt d2 .Thực tế không tồn tại đường thẳng thoả mãn bài ra vì d song song với d2. Lời giải trên là đầy đủ nếu đề bài có ngụ ý tồn tại duy nhất đường thẳng d, tuy nhiên trong trường hợp tổng quát chưa chứng tỏ chắc chắn rằng d tồn tại và d cắt d2, có thể d// d2 trong mp Q hoặc P Q. Lời giải đúng Cách 1 Sau khi tìm được P và Q như trên , xét đường thẳng d có phương trình , đường thẳng này có véc tơ chỉ phương , trong đó là véc tơ chỉ phương của d2, mặt khác điểm N2 ;3 ;2 d2 nhưng N , vậy d// d2 nên bài toán vô nghiệm. Cách2 Gọi P là mặt phẳng đi qua M2 ;1 ;1 và vuông góc với d1 P có phương trình là 3x-2+2y-1+z-1=0 3x+2y+z-9=0. Gọi N= d2 P , để tìm toạ độ của N ,ta giải hệ hệ vô nghiệm d2//P bài toán vô nghiệm Ví dụ 4 Đề thi đại học khối D-2002 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng P 2x-y+2=0 và đường thẳng dm m là tham sô. Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng P. Giải Mặt phẳng P có véc tơ pháp tuyến 2 ;-1 ;0. Đường thẳng dm có véc tơ chỉ phương 1-m2m+1;-2m+12 ;-m1-m. Suy ra =32m+1. dm song song P =0 m=- Nhận xét Đáp số tuy đúng nhưng lời giải trên chưa chính xác, việc lập luận dm song song P là sai, đây chỉ là điều kiện cần. Lời giải đúng dm song song P Điều kiện =0 m=- . Mặt khác khi m=- thì dm có phương trình , mọi điểm A0 ;1 ;a của đường thẳng này đều không nằm trong P nên điều kiện được thoả mãn.. Đáp số m=- Ví dụ 5 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau d1,d2 lần lượt có phương trình là . Viết phương trình đường vuông góc chung của d1,d2 . Giải d1 có véc tơ chỉ phương và đi qua điểm A2 ;-4 ;0 d2 có véc tơ chỉ phương và đi qua điểm B6 ;10 ;-8 Gọi P là mặt phẳng chứa d1 và vuông góc với d2 P có véc tơ pháp tuyến và đi qua điểm A2 ;-4 ;0 nên có phương trình là x-2-y+4+2z=0 x-y+2z-6=0 Gọi Q là mặt phẳng chứa d2 và vuông góc với d1 Q có véc tơ pháp tuyến và đi qua điểm B6 ;10 ;-8 nên có phương trình là -x-6+2y-10+z+8=0 x-2y-z+6=0 Gọi d là đường vuông góc chung của d1,d2 , ta có d=P Q nên d có phương trình là Nhận xét Lời giải trên hoàn toàn sai lầm khi cho rằng P là mặt phẳng chứa d1 và vuông góc với d2 P có véc tơ pháp tuyến và đi qua điểm A, Q là mặt phẳng chứa d2 và vuông góc với d1 Q có véc tơ pháp tuyến và đi qua điểm B. Điều này chỉ đúng khi d1 d2., thực tế mp P vuông góc với d2 và d1 cắt P tại A, mp Q vuông góc với d1 và d2 cắt Q tại B. Lời giải đúng Gọi d là đường vuông góc chung của d1,d2 ; M= d1 d ;N= d2 d. Vì M d1 , N d2 nên M2-t1 ;2t1-4;t1, Nt2+6 ; 10-t2 ;2t2-8. Vì M0 ;0 ;2, N10 ;6 ;0 d có phương trình là Sai lầm không xét hết các trường hợp của bài toán Ví dụ 6 Viết phương trình đường thẳng D qua điểm A=0,3 và tạo với đường thẳng d x-y =0 một góc 450. Giải Giả sử D có hệ số góc k, qua A=0,3 nên có dạng y =kx+3 Û kx-y+3=0. D có vectơ chỉ phương D=1,k, d có chỉ phương d=1,1. Vì góc giữa hai đường thẳng là 450 nên ta có cosd,D=cos d, D Û Þ phương trình D y-3=0. Nhận xét Ta dễ thấy thiếu trường hợp D x = 0. Vậy sai lầm ở đâu? Đã xét chưa hết các trường hợp của đường thẳng D, trường hợp D không có hệ số góc và qua A=0,3 là x=0 thoả mãn bài toán. Nhưng nếu xét hai trường hợp của D như vậy trong trường hợp tổng quát là phức tạp, vì việc kiểm tra góc giữa hai đường thẳng không đơn giản như trường hợp trên. Ta có thể giải bài toán tổng quát hơn như sau Giả sử D có vectơ chỉ phương D=m,n, với m2+n2 ¹0. Ta có cosd,D=cos d, DÛ - Chọn m=1, n=0 có D y-3=0 - Chọn m=0, n=1 có D x=0 Ví dụ 7 Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn C x2+y2-4x-2y-4=0 qua điểm A=5,0. Giải Đường tròn C có dạng chính tắc x-22+y-12=9Þ Tâm I=2,1, R=3. Giả sử tiếp tuyến D có hệ số góc k, qua A= 5,0 nên có dạng y=kx-5 Û Û kx-y-5k=0. Để tiếp xúc C thì dI,D=R Û Û k=4/3 Þ Phương trình D 4x-3y-20=0. Nhận xét Cũng tương tự bài trên, không xét hết các dạng của D. Lời giải đúng Cách 1 Ta thấy IA2=10>9=R2ÞA ngoài C, nên có 2 tiếp tuyến qua A đến C. Làm như trên được D1 4x-3y-20=0, do nhận xét trên tiếp tuyến thứ hai qua A không có hệ số góc là D2 x=5. Cách 2 Tổng quát - Trường hợp D có dạng x=x0 Û x-x0=0, qua A x-5=0 Để tiếp xúc C thì dI,D=R Û 5-2=3, đúng Þ x-5= là tiếp tuyến - Trường hợp D có hệ số góc k làm như trên. Ví dụ 8 Cho hai điểm A=0,0 và B=1,2, đường thẳng d x-y+2=0. Tìm điểm C trên d sao cho DABC vuông. Giải Nhiều học sinh khi giải bài toán này đã không xét hết các trường hợp. Chẳng hạn chỉ xét vuông tại C. d có dạng tham số là x=t, y=t+2. Điểm CÎd nên C=t,t+2. Để tam giác vuông tại C thì Û 0-t1-t+0-t-22-t-2=0 Û 2t2+t=0 Û t=0 hoặc t=-1/2 Þ Có hai điểm C thoả mãn là C=0,2 và C=-1/2,3/2. Nhận xét Thiếu các trường hợp vuông tại A và B Lời giải đúng Xét các trường hợp - Tam giác vuông ở C Làm như trên. - Tam giác vuông ở A Û 1-0t-0+2-0t+2-0=0 Û t=-4/3 Þ C=-4/3,2/3. - Tam giác vuông tại B Û 0-1t-1+0-2t+2-2=0 Û t=1/3 Þ C=1/3,5/3. Ví dụ 9 Cho hai điểm A=4;5 và B=-2;-7, đường thẳng d 3x-y-4=0. Tìm điểm M trên d sao cho DMAB cân. Giải Gọi Mx;y là điểm cần tìm. M d 3x-y-4=0 y=3x-4 Mx;3x-4. DMAB cân tại M khi MA=MB MA2=MB2 4-x2+9-3x2=-2-x2+-3-3x2 84x=84 x=1 M1;-1 Nhận xét lời giải trên vừa thiếu, vừa sai. Bài toán yêu cầu tìm M d để DMAB cân. Phải xét ba trường hợp DMAB cân lần lượt tại đỉnh M, A, B. Ngay trong trường hợp DMAB cân tại đỉnh M thì MA=MB mới chỉ là điều kiện, chứ chưa đủ. Thấy ngay điểm M 1;1 chính là trung điểm của AB nên không thoả mãn bài toán. Ví dụ 10 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm P3 ;0 và hai đường thẳng d1,d2 lần lượt có phương trình là 2x-y-2=0 ; x+y+3=0. Gọi d là đường thẳng qua P và cắt d1,d2 lần lượt ở A và B. Viết phương trình đường thẳng d biết PA=PB. GiảiGỉa sử Ax1 ;y1, Bx2 ;y2, do A d1, B d2 nên y1=2x1-2, y2= x2 -2. Vì PA=PB và A, B, C thẳng hàng nên P là trung điểm của AB Suy ra A , B , từ đó có phương trình đường thẳng cần tìm là y=8x-3. Nhận xét Lời giaỉ trên đã bỏ sót nghiệm, thực ra còn có đường thẳng nữa có phương trình là 4x-5y-12=0. Nguyên nhân sót nghiệm là ở điều kiện PA=PB và A, B, C thẳng hàng suy ra được suy ra được P là trung điểm của AB hoặc A B. Trường hợp A B ta có đường thẳng 4x-5y-12=0. Sai lầm không thử lại kết quả Ví dụ 11 Trong không gian với hệ tọa độ oxy, cho mặt cầu S có phương trình x2+y2+z2-4x-4y+2z-16=0 đường thẳng d1 và đường thẳng d2 . Hãy viết phương trình mặt phẳng P song song với d1, d2 và khoảng cách từ tâm mặt cầu S đến mặt phẳng P bằng 3. Giải + S có tâm I2 ;2 ;-1 bán kính R=5 ; + d1 có vectơ chỉ phương là và d2 có vectơ chỉ phương là + có + P song song với d1, d2 nên nhận làm vectơ pháp tuyến. + Do đó phương trình P có dạng 2x+y-2z+D=0 + Theo giả thiết ta có + Với D=1=> P1 2x+y-2z+1=0 + Với D=-17=> P2 2x+y-2z-17=0 Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 2x +y-2z+1=0 và 2x+y-2z-17=0 * Sai lầm ở đâu Đáp số sai, chỉ tồn tại một mặt phẳng cần tìm. Mặt phẳng P1 không song song với đường thẳng d1 nên bị loại, còn P1 song song ciwus cả 2 đường thẳng d1 và d2 nên là mặt phẳng cần tìm. - Nguyên nhân sai vì không thử lại để xem mặt phẳng tìm được có song song với hai đường thẳng đã cho không. * Thử lại như thế nào Ta có P hoặc song song hoặc chứa d1, d2 nên để kiểm tra ta chỉ cần lấy 1 điểm thuộc mỗi đường thẳng và thay vào phương trình mặt phẳng P thì P chứa đường thẳng tương ứng, ngược lại là song song. Cụ thể, ta có M11;-1;1 d1 và M23;0;-1 d2 Thử lại + M1 P1 nên P1 không thõa mãn. + M2 P2 d1// P2; M2 P2=> d2// P2 nên P2 thõa mãn. Sai lầm khi định dạng các hình do nắm tính chất hình không vững Ví dụ 12 Cho 3 điểm A=1,3, B=-1,1, C=4,6. Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành? Giải Giả sử D=x,y. Để ABCD là hình bình hành ta cần có . Vậy D=6,8. Nhận xét Nhìn về cách giải có vẻ như không sai lầm chỗ nào! Nhưng đây cũng chính là chỗ học sinh dễ sai nhất, đặc biệt là trong hình không gian sau này. Ta đã biết tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AD//BC và AD=BC. Như vậy đẳng thức vectơ trên chưa loại được trường hợp AD≡BC. Lời giải đúng Chỉ cần kiểm tra thêm 3 trong 4 điểm không thẳng hàng cho bài toán tổng quát toạ độ chứa tham số Còn đối với bài trên, dễ thấy là 2 vectơ cùng phương và chung điểm A nên A,B,C thẳng hàng Þ Không tồn tại D để ABCD là hình bình hành. Ví dụ 13 Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có toạ độ các đỉnh là A2 ;3 ;-1, B0 ;-2 ;5 , C1 ;4 ;2 . Xét các điểm D có toạ độ Dm ;1-m ;1-5m, tìm giá trị m để A,B,C,D lập thành một tứ giác. Giải Ta có . Khi đó ABCD lập thành một tứ giác đồng phẳng -21m-2-72-5m=0 3m-6+2-5m=0 2m=4 m=-2 Vậy với m=-2 thì D-2;7;11 thoả mãn điều kiện A,B,C,D lập thành một tứ giác. Nhận xét Lời giải kết luận m=-2 A,B,C,D lập thành một tứ giác là hoàn toàn sai lầm. Việc lập luận A,B,C,D lập thành một tứ giác đồng phẳng là không chính xác, đây chỉ là điều kiện cần. Vì nếu A,B,C hoặc A,D,C thẳng hàng thì các véc tơ vẫn đồng phẳng nhưng 4 điểm A,B,C,D không lập thành một tứ giác Có thể giải lại bài toán như sau Ta có A,B,C,D lập thành một tứ giác đồng phẳng và trong 4 điểm A,B,C,D không có 3 điểm nàothẳng hàng. Vì vậy không có giá trị nào thoả mãn bài ra. Sai lầm khi sử dụng lời giải không chính xác Ví dụ 14 Trong không gian với hệ tọa độ oxyz cho mặt phẳng P x+y+z+2=0 và đường thẳng d . Tìm tọa độ giao điểm M của d và P. Giải Đường thẳng d có phương trình tham số Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ Suy ra M1;-3;0 là điểm cần tìm. * Sai ở đâu? Sai ở chỗ lời giải viết rằng “tọa độ điểm M là nghiệm của hệ * thì các phương trình thứ 2, 3, 4 chưa thõa mãn, cụ thể là Do đó không thể nói tọa độ của M là nghiệm của hệ * được. BÀI TẬP 1 Cho với viết phương trình đường phân giác góc trong của góc A. 2 Cho ba điểm A4;-1, B-3,2; C1;6. Tính góc giữa 2 đường thẳng AB, AC. 3 Cho ba điểm A3;0, B-5;4, P10;2. Viết phương trình đường thẳng đi qua P đồng thời cách đều A và B. 4 Viết phương trình đường thẳng đi qua A0;1 và tạo với đường thẳng d x+2y+3=0 một góc 450. 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d và mặt phẳng P 2x+y-2z+9=0. Tìm tọa độ giao điểm của d và P. 6 Xác định góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng P 3x+y+1=0. 7 Cho hai đường thẳng và viết phương trình mặt phẳng chứa và song song với . 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M1;1;0 và hai đường thẳng d1 và d2 . Viết phương trình mặt phẳng P song song với d1 và d2 đồng thời cách M một khoảng bằng . 9 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng y+z+4=0. Viết phương trình mặt phẳng biết rằng vuông góc với , song song với và . 10 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S, 2 đường thẳng d1 và d2 có phương trình . Viết phương trình mặt phẳng P song song với d1, d2 và khoảng cách từ tâm mặt cầu S đến mặt phẳng P bằng 3. 3. KẾT LUẬN Kết quả thực nghiệm Kết quả kiểm tra Lớp Sĩ số Điểm TB 5 đến 6,4 Điểm khá 6,5 đến 7,9 Điểm giỏi từ 8 trở lên Đạt yêu cầu SL % SL % SL % SL % 10A5 47 22 44,44 12 26,67 8 17,78 40 88,89 12A6 48 23 40,0 15 33,33 6 13,33 39 86,67 Kết quả chung Chuyên đề này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy khối 10, khối 12 và luyện thi đại học trong trong hai năm gần đây. Trong quá trình học chuyên đề này, học sinh thực sự thấy tự tin, biết vận dụng khi gặp các bài toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu. Bài học kinh nghiệm Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, một kinh nghiệm được rút ra là trước hết học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản, biết vận dụng linh hoạt các kiến thức này, từ đó mới dạy các chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức một cách hợp lý với các đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng năng khiếu, rèn kỹ năng cho học sinh. Kết luận Sau một thời gian nghiên cứu và được sự giúp đỡ đóng góp ý kiến của đồng nghiệp đề tài hoàn thành với một số ưu nhược điểm sau Ưu điểm - Sáng kiến đã đạt được những yêu cầu đặt ra ở phần đặt vấn đề. - Tìm hiểu và đưa ra hệ thống bài tập tương đối đầy đủ có lời giải chi tiết. - Phần lớn bài tập đưa ra phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh khá - giỏi THPT. Bên cạnh đó đề tài đưa ra bài tập khó dành cho học sinh giỏi. - Giúp học sinh có những bài tập tương tự để phát triển tư duy. Nhược điểm - Hệ thống bài tập chưa phong phú. - Có những lời giải đưa ra vẫn còn dài chưa thật ngắn gọn. Hướng phát triển - Do thời gian thực hiện đề tài có hạn nên tôi chỉ giới hạn trong hệ thống bài tập - Xây dựng hệ thống bài tập phong phú và đa dạng hơn. - Đưa ra các lời giải ngắn gọn hơn. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ Sách giáo khoa và sách bài tập hình học lớp 10 – NXB Giáo Dục 2/ Sách giáo khoa và sách bài tập hình học lớp 12 – NXB Giáo Dục 3/ Tuyển tập các đề thi TSĐH từ năm 2002 đến năm 2013 4/ Sai lầm thường gặp khi giải toán- NXB Giáo Dục XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 28 tháng 03 năm 2016 Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh nghiệm của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. Lê Thị Thủy Lần đầu tiên môn Toán được thi theo hình thức trắc nghiệm, tuy đây là là hình thức giúp thí sinh dễ dàng hoàn thành bài thi. Tuy nhiên cũng là hình thức thi khiến thí sinh hay mắc phải những lỗi thường sảy ra trong đề thi trắc nghiệm Toán thpt quốc gia. 10 đề thi thử Ngữ văn THPT quốc gia cần làm trước khi đi thi thpt quốc gia. Đề thi thử Toán học dành cho thí sinh ôn luyện THPT quốc gia Vận dụng 5 bước hoàn thành câu phân tích Ngữ Văn trong đề thi Khắc phục những lỗi hay gặp trong đề thi toán thpt quốc gia Khắc phục những lỗi hay gặp trong đề thi toán thpt quốc gia Sau khi làm đề minh họa thpt quốc gia năm 2017 cũng như đề thử nghiệm của Bộ, có một sự thật là học sinh mắc lỗi rất nhiều ở những kiến thức đơn giản như phần lý thuyết. Chỉ một sai lầm nhỏ cũng làm học sinh mất đi 0,2 điểm trong đề thi trắc nghiệm Toán thpt quốc gia 50 câu. Đối với xét tuyển vào các trường đại học top, điểm cũng đủ để quyết định đỗ/trượt. Do đó, câu hỏi càng dễ, học sinh càng cần làm bài kỹ lưỡng, tránh sự chủ quan dẫn đến mất điểm đáng tiếc. Sau đây là những lỗi hay gặp trong đề thi toán thpt quốc gia khi thí sinh được các thầy cô giáo chuyên giảng dạy Toán học nhận thấy ở những em học sinh như sau. Những lỗi hay gặp trong đề thi toán thpt quốc gia với chuyên đề Hàm số Học sinh cũng như các thí sinh cần lưu ý khái niệm cực trị, điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị của đồ thị hàm số. Học sinh rất hay nhầm lẫn phần này. Lư ý tiệm cận Chú ý khi tính giới hạn hàm phân thức phải được tối giản. Lưu ý về bài toán về giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất trên KHOẢNG khác trên ĐOẠN Những lỗi hay gặp trong đề thi toán thpt quốc gia với chuyên đề Mũ – Logarit Lưu ý nắm chắc phần lý thuyết về tính chất đồ thị của hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa. Lưu ý các tính chất của mũ, logarit khi cơ số LỚN HƠN 1 hoặc LỚN HƠN 0, KHÁC 1 Những lỗi hay gặp trong đề thi toán thpt quốc gia với chuyên đề nguyên hàm – Tích phân Hai lưu ý cho thí sinh Thứ nhất Lưu ý những phần lý thuyết về định nghĩa, sự tồn tại, tính chất. Thứ hai Tỉ số diện tích, hình phẳng, thể tích vật tròn xoay Những lỗi hay gặp trong đề thi toán thpt quốc gia với chuyên đề hình không gian Lưu ý khái niệm mặt tròn xoay và hình tròn xoay Lưu ý về khối đa diện đều số cạnh, số đỉnh, số mặt… Để đạt được kết quả cao môn Toán trong kỳ thi thpt quốc gia thí sinh cần chú ý Với kinh nghiệm chấm thi nhiều năm, thầy Nguyễn Bá Tuấn khẳng định học sinh năm nào cũng bị mất điểm lãng xẹt ở những câu dễ ăn điểm vì những lỗi không đáng có ví dụ như năm nay là những phần kiến thức về lý thuyết nói chung và đặc biệt là những câu hỏi về định nghĩa, tính chất nói riêng. Theo thầy, không chỉ học sinh trung bình khá, kể cả các bạn có học lực khá giỏi vẫn thường bị mất điểm ở những câu căn bản dễ ăn điểm. Chỉ một sai lầm nhỏ cũng làm tiêu tan điểm quý giá. Với kinh nghiệm luyện thi và chấm thi nhiều năm, thầy Nguyễn Bá Tuấn có đưa ra một số lời khuyên cho teen 99 khi làm bài thi Đọc thật kỹ đề, đừng đọc lướt làm gì vì sẽ lại mất công đọc lại thôi, bạn không tiết kiệm thời gian hơn đâu Phân bổ thời gian hợp lý. Đừng nghĩ rằng 50 câu Toán chia đều thì mỗi câu bao nhiêu phút. Vì mức độ khó dễ khác nhau. Cứ bình tĩnh làm câu dễ hết thời gian chia đều thì phần cuối những câu khó bạn có “vắt chân lên cổ” cũng chẳng thể kịp đâu. Câu hỏi càng dễ càng không được để mất điểm. Nên nhớ, thi trắc nghiệm câu dễ hay khó thì hệ số điểm vẫn bằng nhau. Theo tổng hợp

những sai lầm thường gặp khi giải toán thpt